8、模运算：线性同余方程的求解与中国剩余定理

模运算：线性同余方程的求解与中国剩余定理

在数学领域中，模运算有着广泛的应用，尤其是在解决线性同余方程和相关问题时。下面我们将深入探讨模运算的相关知识，包括线性同余方程的解的存在性和唯一性，以及如何利用中国剩余定理解决联立线性同余方程组。

1. 模运算基础与示例

在模运算中，我们常常会遇到形如 (a \equiv b \pmod{p}) 的表达式，表示 (a) 和 (b) 在模 (p) 意义下是同余的。例如，当 (p = 7) 时，(\varphi(p) = 6)（这里 (\varphi) 是欧拉函数）。设 (a_1 = 3)，(a_2 = 4)，(b = 5)，则有：
- (a_1^b \equiv 3^5 \equiv 243 \equiv 5 \pmod{7})
- (a_2^b \equiv 4^5 \equiv 1024 \equiv 2 \pmod{7})

这与相关推论是相符的。而当 (b = 2)（(b) 与 (\varphi(p)) 不互质）时，有：
- (a_1^b \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 2 \pmod{7})
- (a_2^b \equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 2 \pmod{7})

2. 线性同余方程的解

对于线性同余方程 (ax \equiv b \pmod{n})，其解的存在性和唯一性有重要的判定条件。

2.1 解的存在性

定理表明，线性同余方程 (ax \equiv b \pmod{n}) 在整数集 (\mathbb{Z}) 中有至少一个解当且仅当 (\gcd(a, n)