7、数学与统计基础：向量空间与模运算

数学与统计基础：向量空间与模运算

在数学领域中，向量空间和模运算都是非常重要的概念。下面我们将详细探讨向量空间中的线性独立性、正交性，以及模运算中的等价关系、同余类等内容。

向量空间相关概念

1. 线性独立性与向量空间维度
   • 设 (F = F_2)，(S = { 0010, 1000 })，(V = \langle S \rangle)。可以很容易看出 (S) 中的向量是线性独立的。根据定义，(\dim(V)_{F_2} = 2)。再由引理可知，(\vert V \vert = 4)，并且 (V = { 0000, 0010, 1000, 1010 })。
2. 向量的标量积
   • 对于任意 (v = (v_0, v_2, \ldots, v_{n - 1}) \in F_2^n) 和 (w = (w_0, w_2, \ldots, w_{n - 1}) \in F_2^n)，将 (v) 视为行向量，(w) 视为列向量，它们的标量积定义为 (v \cdot w = \sum_{i = 0}^{n - 1} v_i w_i)。
   • 对于任意 (u = (u_0, u_1, \ldots, u_{n - 1}) \in F_2^n)，有 ((v + w) \cdot u = \sum_{i = 0}^{n - 1} (v_i + w_i)u_i = \sum_{i = 0}^{n - 1} v_i u_i + \sum_{i = 0}^{n - 1} w_i u_i = v \cdot u + w \cd