6、线性代数中的向量空间：基础概念与性质

线性代数中的向量空间：基础概念与性质

1. 向量空间的定义

设 $F$ 是一个具有加法单位元 $0$ 和乘法单位元 $1$ 的域。一个非空集合 $V$，连同两个二元运算——向量加法（用 $+$ 表示）和 $F$ 中元素的标量乘法（这是一个定义域为 $V\times F$ 且值域为 $V$ 的映射），如果 $(V, +)$ 是一个阿贝尔群，并且对于任意的 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ 和任意的 $a, b \in F$，满足以下性质，则称 $V$ 是 $F$ 上的向量空间：
1. $a(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = a\mathbf{v} + a\mathbf{w}$；
2. $(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$；
3. $a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}$；
4. $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$，其中 $1$ 是 $F$ 的乘法单位元。

$V$ 中的元素称为向量，$F$ 中的元素称为标量。容易看出，如果 $0$ 是 $F$ 中的加法单位元，$\mathbf{v}$ 是 $V$ 中的任意向量，那么 $0\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 是 $V$ 中的加法单位元。

2. 向量空间的例子

• 复数集 ：复数集 $\mathbb{C} = { x + iy | x, y \in \mathbb{R} }$ 是 $\mathbb{R}$ 上的向量空间。对于任意的 $a_1 + b_1i, a_2 +