4、抽象代数基础：素数、群与相关定理

抽象代数基础：素数、群与相关定理

1. 素数相关知识

1.1 素数判定

像 6、9、21 就不是素数。关于素数，有如下引理：
- 引理 1.1.2 ：对于素数 (p \in \mathbb{Z})，若 (p \mid \prod_{i = 1}^{n} a_i)（其中 (a_i \in \mathbb{Z})），那么存在某个 (i)（(1 \leq i \leq n)），使得 (p \mid a_i)。
- 证明 ：若 (p \mid a_1)，则结论成立。否则，(\gcd(p, a_1) = 1)，依据引理 1.1.1(7)，可得 (p \mid \prod_{i = 2}^{n} a_i)。重复此论证过程，就能得出存在某个 (i) 使得 (p \mid a_i)。

1.2 算术基本定理

大于 1 的整数要么是素数，要么是素数的乘积。这就引出了算术基本定理：
- 定理 1.1.5（算术基本定理） ：对于任意 (n \in \mathbb{Z}) 且 (n > 1)，(n) 可写成 (n = \prod_{i = 1}^{k} p_i^{e_i}) 的形式，其中指数 (e_i) 为正整数，(p_1, p_2, \cdots, p_k) 是两两不同的素数，且这种分解在排列顺序上是唯一的。
- 证明 ：采用反证法。假设该定理不成立，设 (n \in \mathbb{Z})（(n > 1)）是具有两种不同分解形式的最小整数，即 (n = \prod_{i =