3、数学基础与整数相关知识解析

数学基础与整数相关知识解析

在数学领域，函数与整数是非常基础且重要的概念。下面我们将深入探讨函数的复合运算以及整数的多种表示和性质。

函数复合运算

函数复合是将一个函数的输出作为另一个函数的输入的操作。例如，对于两个函数 (f) 和 (g)，复合函数 (f \circ g) 定义为：
[
\begin{align }
f \circ g : S &\to U \
s &\mapsto f(g(s))
\end{align }
]

举个具体的例子，设 (f : \mathbb{R} \to \mathbb{R})，(x \mapsto x^2)，(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R})，(x \mapsto x^3)。那么 (f) 和 (g) 的复合函数 (f \circ g) 为：
[
\begin{align }
f \circ g : \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \
x &\mapsto (x^3)^2 = x^6
\end{align }
]

对于定义域和值域相同的函数 (f : S \to S)，我们可以类似地定义 (f \circ f \circ \cdots \circ f)，简记为 (f^n)，表示 (n) 个 (f) 的复合。当 (f) 是双射函数时，(f^{-1}) 也是一个函数，(f^{-n}) 表示 (n) 个 (f^{-1}) 的复合。

例如，定义 (f : \mathbb{R} \t