数学命题证明与算法复杂度解析

48、证明：如果(n^2 + 3)是奇数，那么(n)是偶数。

我们可以通过证明其逆否命题来证明原命题。逆否命题为：如果 $ n $ 是奇数，那么 $ n^2 + 3 $ 是偶数。

假设 $ n $ 是奇数，则存在整数 $ k $，使得 $ n = 2k + 1 $。

那么
$$
n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1
$$

所以
$$
n^2 + 3 = 4k^2 + 4k + 1 + 3 = 4k^2 + 4k + 4 = 2(2k^2 + 2k + 2)
$$

因为 $ 2k^2 + 2k + 2 $ 是整数，所以 $ n^2 + 3 $ 是偶数。

由于逆否命题为真，所以原命题“如果 $ n^2 + 3 $ 是奇数，那么 $ n $ 是偶数”也为真。

49、证明一个正无理数的平方根是无理数；即，如果x > 0是无理数，那么√x也是无理数。

可通过证明其逆否命题来证明该命题。
逆否命题为：如果√x是有理数，那么x是有理数。

若√x是有理数，则存在整数a和b（b≠0），使得
$$
\sqrt{x} = \frac{a}{b}
$$

那么
$$
x = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}
$$

因为 $a^2$ 和 $b^2$ 都是整数且 $b^2 \neq 0$，所以 $x$ 是有理数。

由于逆否命题为真，所以原命题
“如果 $x > 0$ 是无理数，那么 $\sqrt{x}$ 也是无理数”
为真。

50、证明一个无理数与一个有理数的和一定是无理数。

本题可采用反证法来证明。

设 $ x $ 是无理数，$ y $ 是有理数，假设 $ x + y $ 是有理数。

因为 $ y $ 是有理数，则存在