6、线性系统与非线性方程求解的正则化技术及方法

线性系统与非线性方程求解的正则化技术及方法

在科学计算和工程应用中，线性系统求解和非线性方程求解是常见的问题。然而，当遇到病态问题时，求解结果可能不稳定或不准确。为了解决这些问题，正则化技术应运而生。同时，对于非线性方程，也有多种有效的数值求解方法。

1. 线性系统解的正则化

正则化是稳定病态问题解的过程，对于线性系统 (Fx = y)（其中 (F \in R^{m×n})，(x \in R^{n})，(y \in R^{m})），通过引入近似逆算子族 ({\Gamma_{\alpha} : R^{n} \to R^{m} : \Gamma_{\alpha} \approx F^{-1}, \alpha \in (0, \infty)}) 来实现正则化。常见的正则化技术包括截断奇异值分解（TSVD）方法、Tikhonov 正则化方法、L - 曲线方法和 Morozov 偏差原则。

1.1 截断奇异值分解（TSVD）方法

对于线性系统 (Fx = b)（(F \in R^{n×n})，(x \in R^{n})，(y \in R^{n})），假设 (U)、(\Sigma) 和 (V) 是矩阵 (F) 的奇异值分解因子，即 (F = U\Sigma V^{T})，则 (F^{-1} = V\Sigma^{-1}U^{T})，线性系统的唯一解为 (x = V\Sigma^{-1}U^{T}b = \sum_{j = 1}^{n} \frac{u_{j}^{T}b}{\sigma_{j}}v_{j})，其中 (u_{j}) 和 (v_{j}) 分别是 (U) 和 (V) 的第 (j) 列，(\sigma_{j}) 是 (\Sigma) 的第 (j) 个对角元素，且