9、基于伽马过程的设备性能退化建模与剩余寿命预测

基于伽马过程的设备性能退化建模与剩余寿命预测

1. 伽马过程的参数估计

1.1 矩估计法

对于伽马过程的参数估计，首先考虑矩估计法。已知公式：
[
\frac{\alpha}{\beta^2} = \frac{S_Y^2}{t_n}\left(1 - \sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{\Delta t_i}{t_n}\right)^2\right)
]
可以得到参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 的估计值：
[
\hat{\alpha} = \frac{x_n^2\left(1 - \sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{\Delta t_i}{t_n}\right)^2\right)}{t_nS_Y^2}
]
[
\hat{\beta} = \frac{x_n\left(1 - \sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{\Delta t_i}{t_n}\right)^2\right)}{S_Y^2}
]
当 $\Delta t_i$（$i = 1, \cdots, n$）且 $n$ 相等时，两种策略能得到相同的估计值。

若参数 $b$ 未知，对于非平稳伽马过程，需要基于数据进行估计。对公式 $\log E[X(t)] = b \log t + \log(c / \beta)$ 两边取对数，以 $\log t$ 为 $x$ 轴，$\log E[X(t)]$ 为 $y$ 轴，可得到斜率为 $b$ 的直线。根据最小二乘法，有：
[
\hat{b} = \frac{n\sum_{i = 1}^{