56、参数化马尔可夫链是否具有单调性？

参数化马尔可夫链是否具有单调性？

1. 问题提出

在参数合成中，证明参数化马尔可夫链（pMC）的非单调性相对简单，只需找到沿一条线的三个实例来反驳单调性即可，但这对参数合成的益处不大。本文聚焦于证明单调性而非反驳它。

例如，对于图 1(a) 中的 pMC，当参数 $p$ 取值为 0.3、0.5、0.9 时，可达概率分别为 0.79、0.75、0.91，这表明在区域 $R = [0.3, 0.9]$ 上，该 pMC 既不是单调递增也不是单调递减的。

问题陈述为：给定一个 pMC $M$、一个参数 $p$ 和一个区域 $R$，构建一个高效算法来确定 $M$ 在 $R$ 上关于 $p$ 是单调递增（$M^R_p↑$）、单调递减（$M^R_p↓$）还是“未知”。

2. 单调性的充分准则

2.1 可达性顺序

可达性顺序（Reachability order，RO）是一个重要概念。对于集合 $T \subseteq S$ 和区域 $R$，一个序关系 $\preceq_{R,T} \subseteq S \times S$ 是可达性顺序，当且仅当对于所有的 $s, t \in S$，$s \preceq_{R,T} t$ 意味着对于所有的 $u \in R$，有 $Pr_{s \to T}(u) \leq Pr_{t \to T}(u)$。如果反向蕴含关系也成立，则该顺序称为详尽的可达性顺序。可达性顺序的哈斯图（Hasse - diagram）被称为 RO - 图。

例如，对于图 1(a) 中的 pMC $M_1$，图 2(a) 展示了详尽可达性顺序的 RO - 图，其中 $[s_0] = {s_0, s_