13、连续值马尔可夫随机场中的参数学习

连续值马尔可夫随机场中的参数学习

1. 引言

在构建马尔可夫随机场（MRF）模型以完成特定任务时，一个关键决策是：MRF 模型中的节点应采用离散值变量还是连续值变量？尽管离散值模型在推理方面取得了进展，适用于众多问题，但连续值模型也有独特优势。连续值模型能自然处理无限数量的状态，许多中低级视觉问题更适合用连续变量参数化，如涉及像素强度和深度值的问题。离散值模型处理这些问题时，往往需要大量可能状态，导致推理和学习效率低下，有时还需复杂启发式方法动态减少状态数量，而连续值模型则不受这些问题影响。

2. 计算机视觉中的连续 MRF 模型

连续值 MRF 常用于施加平滑性或连续性约束，与不适定视觉问题中的正则化方案密切相关。早期应用主要集中在对噪声或离散数据进行分段平滑重建，如 Blake 和 Zisserman 的工作展示了如何构建模型以保留不连续性，并使用诸如渐进非凸性等技术优化模型。Black 和 Rangajaran 将这些模型与稳健统计联系起来。近期研究，如 Roth 和 Black 的专家场模型，利用连续值 MRF 易于实现推理的特点，学习高阶 MRF，其推理可简化为基本滤波步骤，模型的团块可对应 5×5 像素块。

3. 基本公式

向量 x 的分布 p(x) 表示为 Gibbs 分布：
[p(x) = \frac{1}{Z(\omega)} \exp(-E(x, \omega))]
其中 (Z(\omega)) 是配分函数或归一化常数，(E(x)) 是由一组势函数组成的能量函数，图中每个团块 c 有一个势函数 (\Phi(x_c, \omega))，使得 (E(x) = \sum_{c \in C} \Phi