57、关于参数化马尔可夫链单调性及信息流验证的研究

关于参数化马尔可夫链单调性及信息流验证的研究

一、参数化马尔可夫链单调性研究

在处理参数化马尔可夫链（pMC）时，判断其单调性是一个重要的问题。对于无环的 pMC 已有相关研究，而对于有环的 pMC，有两种处理技术。

1. 处理循环的技术
- 强连通分量（SCC）消除 ：该技术将每个 SCC 收缩为一组状态，每个状态对应 SCC 的一个入口状态。例如，图 4（a）的 pMC 在进行 SCC 消除后变为图 4（b）的形式。
- 破环法 ：当 SCC 消除不可行时使用。有一个针对简单 pMC 的引理 6 很有帮助，对于任意状态 s 且其后续状态 succ(s) = {s1, s2}，有以下三种情况：
- 如果 s1 ≡ s，那么 s2 ≡ s；
- 如果 s1 ≺ s，那么 s ≺ s2；
- 如果 s ≺ s1，那么 s2 ≺ s。

以图 4（a）为例，引理 3 无法扩展平凡序。为处理循环，选择一个状态（如 s0）插入到已计算的可达性顺序图中，得到 ≺ s0 ≺ 。对于 s1 和 s2 的排序，引理 3 不适用，使用 ≺ s0 并应用引理 6 于 s1 可得 s0 ≺ s1，同理对于 s2 可得 s1 ≺ s2。策略是从循环中依次选取状态插入到当前顺序中，直到循环中的所有状态都被覆盖。

选择循环中状态的方法是启发式的，好的启发式方法应选择可能导致破环的状态，经验确定的关键标准是：选择反向拓扑排序中靠前的 SCC 中的循环，并优先选择有 SCC 外后续状态的状态。