12、离散时间系统稳定性与希尔伯特变换解析

离散时间系统稳定性与希尔伯特变换解析

1. 离散时间系统稳定性分析

1.1 递归系统与传递函数

考虑递归系统：
[y_n = a_1y_{n - 1}H_{n - 1} + a_2y_{n - 2}H_{n - 2} + x_n, n \geq 0]
其中 (H_{n - k}) 是单位阶跃函数，当 (n < k) 时为 0，(n \geq k) 时为 1。通过 (z) 变换可得：
[z^2Y(z) - a_1zY(z) - a_2Y(z) = z^2X(z)]
传递函数 (G(z)) 为：
[G(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{z^2}{z^2 - a_1z - a_2}]
该传递函数有两个极点：
[z_{1,2} = \frac{a_1}{2} \pm \sqrt{\frac{a_1^2}{4} + a_2}]

1.2 不同极点情况分析

• 情况 1：(\frac{a_1^2}{4} + a_2 < 0)
  此时 (z_1) 和 (z_2) 为共轭复数，设 (z_{1,2} = re^{\pm i\omega_0T})，则：
  [G(z) = \frac{z^2}{(z - re^{i\omega_0T})(z - re^{-i\omega_0T})} = \frac{z^2}{z^2 - 2r\cos(\omega_0T)z + r^2}]
  脉冲响应 (g_n) 为：
  [g_n = \text{Res}\left[\frac{z^{n + 1}}{z^2