15、点集模式匹配与无环 3 可着色平面图研究

点集模式匹配与无环 3 可着色平面图研究

1. 二维刚性运动下的部分点集模式匹配

在二维刚性运动变换中，我们要检查的变换 $T(Q)$ 为 $\begin{bmatrix}x’\y’\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}t_x\t_y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}$，其中 $t_x$、$t_y$ 和 $\theta$ 是未知的。当我们将查询集 $Q$ 垂直向角落移动距离 $d$（$d < \epsilon$）时，$T(Q)$ 变为 $T’(Q)$，即 $\begin{bmatrix}x’\y’\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}t_x\t_y - d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}$。

对于给定的查询集 $Q$，我们的操作步骤如下：
1. 尝试找出满足引理 2 条件的 $T’(Q)$。
2. 若存在匹配，使用 $T’(Q)$ 找出满足引理 1 的 $T(Q)$。

我们将查询点 $q_i \in Q$ 固定在与点 $p \in P$ 对应的 $\epsilon$ 框的角落，通过适当的旋转角度来搜索变换 $T’(Q)$。若存在这样的旋转角度，就能找到另一个