61、无三角形便士图：退化性、可选性与边数

无三角形便士图：退化性、可选性与边数

1. 引言

便士图是单位圆的接触图，它由不重叠的单位圆集合构成，每个圆对应一个顶点，每两个相切的圆之间有一条边。便士图也属于几何对象接触图的研究范畴。同时，除了无边图，便士图也是邻近图，由平面上有限点集确定，所有最近点对之间都有边相连，因此也被称为最小距离图。最小距离表示和接触表示可以相互转换，但仅根据图来寻找这两种表示是NP困难的，即使对于树也是如此。

作为图的绘制方式，最小距离表示具有诸多优点，如无交叉、所有边长度为单位长度且角分辨率至少为π/3。每个能以这种方式绘制的图都是便士图。此外，便士图的退化性至多为3，即图G的每个子图都包含一个度数至多为3的顶点。这种性质使得便士图可以使用线性时间的贪心4 - 着色算法，比已知的任意平面图的二次时间4 - 着色算法简单得多。并且，虽然n个顶点的平面图最多有3n - 6条边，但便士图最多有$3n - \sqrt{12n - 3}$条边，这个边界对于紧密排列成六边形的便士是紧的。

Swanepoel首先考虑了无三角形便士图的相关问题。在图绘制方面，无三角形便士图可以绘制为无交叉、边长度为单位长度且角分辨率严格大于π/3的图。Swanepoel观察到，与更一般的无三角形平面图一样，n个顶点的无三角形便士图最多有2n - 4条边。作为下界，正方形网格有$2n - 2\sqrt{n}$条边，一些网格子集和Oloffde Wet发现的一些五边形对称图也有同样数量的边。Swanepoel猜想这个下界是紧的。

更一般的无三角形平面图也被研究过。Grötzsch证明了这些图是3 - 可着色的，并且可以在线性时间内进行3 - 着色。然而，并非所有无三角形平面图都是3 - 列表可着色的。已知二分平