6、逻辑推理与概念建模的理论与实践

逻辑推理与概念建模的理论与实践

1. 自然演绎系统在描述逻辑中的应用

1.1 选择自然演绎系统的原因

在逻辑推理中，对于每个自然演绎（ND）推导，可能存在多个 sequent calculus（SC）证明。为了更好地解释经典定理，我们选择 ND 作为最合适的基础。不过，这并不意味着证明者必须直接生成 ND 证明，也可以提供有效的转换方法。当然，所涉及的逻辑必须有对应的 ND 系统，并且要有归一化证明。

1.2 ALC 语言及其自然演绎系统 NALC

ALC 是一种基本的描述语言，其概念描述的语法如下：

C ::= ⊥ | ⊤ | A | ¬C | C1 ⊓C2 | C1 ⊔C2 | ∃R.C | ∀R.C

其中，A 代表原子概念，R 代表原子角色，⊤ 可以表示为 ¬⊥。

其语义通过解释 (I = (\Delta^I, \cdot^I)) 来定义，其中 (\Delta^I) 是个体的非空集合，解释函数 (\cdot^I) 将每个原子概念 A 映射到集合 (A^I \subseteq \Delta^I)，每个原子角色映射到二元关系 (r^I \subseteq \Delta^I \times \Delta^I)，并通过归纳扩展到概念描述：
- (\top^I = \Delta^I)
- (\bot^I = \varnothing)
- ((\neg C)^I = \Delta^I \setminus C^I)
- ((C \sqcap D)^I = C^I \cap D^I