10、量子算法：Deutsch - Jozsa 与 Simon 算法解析

量子算法：Deutsch - Jozsa 与 Simon 算法解析

1. Deutsch - Jozsa 算法

Deutsch - Jozsa 算法是对 Deutsch 算法解决问题的直接推广，旨在判断一个未知函数 (f) 是常量函数还是平衡函数。该函数 (f) 是从 (n) 位字符串到单个位的映射，即 (f : {0, 1}^n \to {0, 1})。

1.1 问题描述

• 输入 ：一个用于计算未知函数 (f) 的黑盒。
• 承诺 ：函数 (f) 要么是常量函数（对于所有输入 (x)，(f(x)) 都相同），要么是平衡函数（对于一半的输入字符串 (x)，(f(x) = 0)；对于另一半输入，(f(x) = 1)）。
• 问题 ：通过对 (f) 进行查询，确定 (f) 是常量函数还是平衡函数。

1.2 经典算法分析

使用经典算法解决此问题时，在最坏情况下，即使对 (f) 进行了 (2^{n - 1}) 次查询且结果都为 (0)，仍不能确定 (f) 是常量函数还是平衡函数，因为对剩余 (2^{n - 1}) 个输入的查询结果可能都为 (1)。所以，经典算法在最坏情况下需要 (2^{n - 1} + 1) 次查询才能确定 (f) 的性质。

1.3 量子算法优势

量子算法可以利用量子叠加和干涉来确定 (f) 的全局性质。Deutsch - Jozsa 算法只需对 (f) 的量子可逆电路进行一次查询，就能确定 (f) 是