9、初探量子算法：从概率到实际应用

初探量子算法：从概率到实际应用

1. 概率算法与量子算法的对比

量子算法与经典概率算法有一些共同特征，我们可以将量子计算视为概率计算的一种推广。

1.1 简单概率计算示例

考虑一个简单的概率计算，作用于一个可以处于四种状态（标记为 0、1、2、3）之一的寄存器。初始时，寄存器处于状态 0。在计算的第一步后，寄存器以概率 (p_{0,j}) 处于状态 (j)；在第二步，寄存器以概率 (q_{j,k}) 从状态 (j) 转移到状态 (k)。

若要计算在第二步后计算结束于状态 3 的总概率，需先确定每条可能结束于状态 3 的计算“路径”的概率，然后将这些路径的概率相加。总概率公式为：
[
\text{prob(最终结果为 3)} = \sum_{j} p_{0,j}q_{j,3}
]

另一种看待此计算的方式是，假设寄存器由两个量子比特组成，将标签 0、1、2、3 分别对应四个基态 (|00\rangle)、(|01\rangle)、(|10\rangle)、(|11\rangle)。将每个转移概率视为量子概率振幅的平方，即 (p_{0,j} = |\alpha_{0,j}|^2) 和 (q_{j,k} = |\beta_{j,k}|^2)。这可以看作是一个在每一步后都进行状态测量的量子计算。

如果在计算的第一步后立即测量状态，得到结果 2 的概率为：
[
\text{prob(第一步后测量结果为 2)} = |\alpha_{0,2}|^2 = p_{0,2}
]

在第二步后测量得到结果 3 的总概率为：
[
\text{p