6、混合态与通用量子操作：原理与应用

混合态与通用量子操作：原理与应用

1. 混合态基础

在量子力学中，以往我们常假定系统具有确定的状态向量，这种状态被称为纯态。然而，存在一些情况，我们只能知道量子比特处于一组特定状态向量中的某一个，且每个状态向量都有对应的概率（这些概率之和为 1）。例如，一个量子比特以 1/3 的概率处于纯态 $|\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$，以 2/3 的概率处于纯态 $|\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$。这种由概率分布描述的状态被称为混合态，它是 $|\psi_1\rangle$ 和 $|\psi_2\rangle$ 的混合或系综。

1.1 混合态的表示

对于 n 个量子比特的系综，一种表示一般混合态的方式是：
[
\left{(|\psi_1\rangle, p_1), (|\psi_2\rangle, p_2), \cdots, (|\psi_k\rangle, p_k)\right}
]
这意味着系统以概率 $p_i$ 处于纯（n 量子比特）态 $|\psi_i\rangle$，其中 $i = 1, 2, \cdots, k$。纯态可以看作是混合态的特殊情况，即除了一个 $p_i$ 为 1 外，其余都为 0。

但使用上述表示进行计算会很繁琐，因此引入了密度算符这一替代表示。密度算符是希尔伯特空间 H 上的算符，其矩阵表示称为密度矩阵。

1.2 密度算符