量子态混合与熵增原理

1、纯态混合问题。设q是一个由纯态混合而成的混合态。那么混合这些纯态时，各自应采用的权重是多少呢？我们从两态系统开始求解。

在连续相空间的情况下，对于混合纯态 $\delta(x - \tilde{x})$，可以选择权重 $w(\tilde{x}) = q(\tilde{x})$，即
$$ q(x) = \int w(\tilde{x})\delta(x - \tilde{x}) \, d\tilde{x} $$

2、概率混合还是确定性混合？如果混合不是随机进行的会怎样？假设混合的目标状态是均匀分布的：q(x) = 1/2。让某人分别混合相等数量n的纯态dx0和dx1。请写出这个n重复合系统的状态。并将其与对应于正确（即随机）混合的n重复合系统状态进行比较。

当不随机混合时，混合 $ n $ 个零和 $ n $ 个一通过随机排列实现，对应的 $ 2n $-部复合状态为：

$$
q(x_1, \ldots, x_{2n}) = \frac{dx_{1}^{0} \ldots dx_{n}^{0} dx_{n+1}^{1} \ldots dx_{2n}^{1} + \text{所有 } (x_1, \ldots, x_{2n}) \text{ 的排列组合}}{\text{排列组合的数量}};
$$

而概率混合是进行 $ 2n $ 次随机决策，即做出 $ 2n $ 个随机选择，然后混合 $ 2n $ 个元素，结果为：

$$
q(x_1)\ldots q(x_{2n}),
$$

这与上述非随机混合的复合状态明显不同。

3、对一个系综进行去关联。给出一个操作 M，它能将 2n 个相关态 qAB 转换为 n 个不相关态 qAqB，即 Mq₂ₙₐ₈ = (qAqB)ₙ。方法：考虑对子系统 A 的 2n 个副本进行巧妙的排列，然后约化到合适的子系统。

可通过对子系统 A 的 2n 个副本进行巧妙排列，再约化到合适子系统的操作 M，将 2n 个相关态 q _AB 转换为 n 个不相关态 q _A q _B 。

4、考虑一个满足特定量子数n的q条件的简谐振子的运动。假设我们绝热地改变方向力常数x²，即变化速度比振荡周期慢得多。从物理直觉来看，系统的运动是否在很好的近似下始终满足q条件，甚至量子数n也保持不变？

是真的。规范作用 $ I $ 是经典运动的绝热不变量，对于哈密顿量中 $ x $ 的变化，只要 $ |\dot{x}| \ll x^2 $，规范作用 $ I $ 就保持不变，$ q $ 条件也会以相同的量子数 $ n $ 得到满足。

5、微观和宏观系统之间没有绝对的区分规则。询问一个给定的状态（运动）是类量子（q-like）还是类经典（classical-like）更有意义。在半经典物理学中，如果量子条件（q-condition）施加了物理上相关的限制，那么该状态就是类量子的；如果施加的离散性实际上并没有限制经典状态的连续性，那么该状态就是类经典的。论证一下，从这个意义上说，小的整数量子数n意味着类量子状态，而大的量子数意味着类经典状态。

在半经典物理中，判断状态是 类量子 还是 类经典 ，取决于 量子条件是否施加物理相关限制 。

• 小整数量子数 时：
• 量子条件限制作用明显
• 对经典状态连续性限制大

• 属于 类量子状态

• 大量子数 时：

• 量子条件限制不显著
• 不影响经典状态连续性
• 属于 类经典状态

6、证明纯态内积 ⟨m|n⟩ 的余弦法则可以从相应的两个密度矩阵一步推导得出，要求表示出 |⟨m|n⟩|²。

计算两个密度矩阵的乘积的迹：

$$
|\langle m|n\rangle|^2 = \text{tr}\left[\left( \frac{I + n\cdot\sigma}{2} \right) \left( \frac{I + m\cdot\sigma}