24、特征分析与瞬态动态问题解析

特征分析与瞬态动态问题解析

1. 悬臂梁与节点

在简谐运动（SHM）中，悬臂梁端部的弹簧支撑有着重要作用。通常，悬臂梁在发生最大SHM位移的点设置弹簧支撑，能减小该点的相对位移以及梁长度方向上其他点的位移。在二阶模态图中，靠近梁长度3/4处会出现一个在简谐运动中始终静止的点，每增加一个模态就会多一个这样的点，在振动文献里，这些点被称为“节点”。

2. 膜振动

将一维等几何分析（IGA）振动问题拓展到二维问题，只需使用两个方向基函数的张量积。对于每个单元，需要创建“广义刚度矩阵”和“广义质量矩阵”，并将它们组装到系统中。之后，将系统级的方阵输入特征求解器，而非线性方程求解器。

考虑一个边界位移为零的振动薄膜，其形状类似于肥皂泡。例如，MATLAB标志就与L形膜振动的振幅（位移放大后）非常相似。膜是一种受拉的薄材料，能产生横向小位移且无抗弯能力，可看作是拉伸弦在二维上的推广。

对于边界上单位长度具有全局均匀膜张力(T)的情况，二维运动方程（波动方程）为：
[T\nabla^{2}v(x, y) + \rho h\frac{\partial^{2}v(x, y)}{\partial t^{2}} = 0]
其中，(v(x, y))是横向位移，(\rho)是材料质量密度，(h)是膜厚度，(\rho h)是单位面积质量。

膜刚度矩阵为：
[K_{e} = \int_{A_{e}} B_{e}^{T} T B_{e} dA = \int_{A_{e}} \begin{bmatrix} \frac{\partial N}{\partial x} \ \frac{\partial N}{\partial