CINTA 作业1

• 无符号乘法

  def mutiply(a, b):
      ans = 0
      while b != 0:
          if b & 1 == 1:
              ans = ans + a
          a = a << 1
          b = b >> 1
      return ans
  
  a = eval(input())	
  b = eval(input())
  print(mutiply(a, b))
  
  

  假设b有$n$个bit，时间复杂度就是$O(n^2)$

• 证明命题$1.1$，设 a, b, c ∈ Z，如果 a | b，b | c，则 a | c。如果 c | a，c | b，则对任意 m, n ∈ Z，有c | (ma + nb)。

  如果$a|b$, $b|c$，则有整数$m,n$使得$b=a\ast m$，$c=b\ast n$，所以有$c=m\ast n\ast a$，因为$m\ast n$是整数，所以有$a|c$。如果$c|a$, $c|b$，则有整数$n_1$,$n_2$使得$a=n_1\ast c$，$b=n_2\ast c$，所以$(m\ast a+n\ast b)/c=(m\ast n_1\ast c+n\ast n_2\ast c)/c=(m\ast n_1+n\ast n_2)\ast c/c=(m\ast n_1+n\ast n_2)$，因为$m\ast n_1+n\ast n_2$是整数，所以$c|(ma+nb)$。

• 定理$1.1$的证明

  构造集合 S = { a − b k : k ∈ Z ， 且 a − b k ≥ 0 } S= \lbrace a-bk:k \in Z，且a-bk \geq 0\rbrace S={a−bk:k∈Z，且a−bk≥0}，如果存在$r_1,q_1$，使得$a=q_{1}b+r_1$，存在$r_2,q_2$，使得$a=q_{2}b+r_2$，且$r_1!=r_2，q_1!=q_2$至少有一个式子成立。

  • 若$r_1!=r_2，且q_1==q_2$，则$r_1=a-q_{1}b$，$r_2=a-q_{2}b=a-q_{1}b=r_1$，与$r_1!=r_2$矛盾，同理可证不存在$q_1!=q_2，且r1==r2$。
  • 若$r_1!=r_2，且q_1!=q_2$，因为$r_1,r_2\in S$，所以$r_1，r_2$肯定有一个是更大的元素，则此更大的元素肯定大于$b$，与定理$1.1$矛盾。