心雨

任取环RRR中的元素xxx都满足x2=xx^2=xx2=x，请证明环RRR是交换环。若RRR是整环ab=baab=baab=ba，∀a,b∈R,若有ab=0,则ba=ab=0，\forall a,b \in R, 若有ab=0,则ba=ab=0，∀a,b∈R,若有ab=0,则ba=ab=0，满足交换环的性质，否则a2b2=ab=(ab)2=abab=aabb，abab=aabba^2b^2=ab=(ab)^2=abab=aabb，abab=aabba2b2=ab=(ab)2=abab=aabb，ab..

设ppp是奇素数，请证明Zp∗\Z_p^*Zp∗​的所有生成元都是模ppp的二次非剩余。令aaa为Zp∗\Z_p^*Zp∗​任意一个生成元，则有ap−1≡1(mod p)a^{p-1}\equiv1(mod \space p)ap−1≡1(mod p)，且p−1p-1p−1是使ap−1≡1(mod p)a^{p-1}\equiv1(mod \space p)ap−1≡1(mod p)得最小元素，若aaa使模ppp的二次剩余，则根据欧拉准则，则有ap−12≡1(m..

利用crtcrtcrt求解x≡8(mod 11),x≡3(mod 19)x\equiv 8(mod \space11),x\equiv3(mod\space 19)x≡8(mod 11),x≡3(mod 19)令n=11∗19=209n=11*19=209n=11∗19=20919 mod 1119 \space mod\space 1119 mod 11下的乘法逆元为777，11 mod 1911\..

GGG是阿贝尔群，HHH和NNN是GGG的子群。请证明HN={hn:h∈H，n∈N}HN = \{hn: h\in H ，n\in N\}HN={hn:h∈H，n∈N}是群GGG的子群。如果群GGG不是阿贝尔群，结论是否依然成立。存在单位元：因为HHH和NNN都是GGG的子群，所以HHH和NNN都有单位元eee，ee=eee=eee=e，因为hne=ehn=hnhne = ehn = hnhne=ehn=hn，所以eee是HNHNHN的子群。满足封闭性：假设有h1,h2∈H,n1,n2∈Nh_1,h..

设ϕ:G↦H\phi:G\mapsto Hϕ:G↦H是一种群同态。请证明如果GGG是循环群，则ϕ(G)\phi(G)ϕ(G)也是循环群；如果GGG是交换群，则ϕ(G)\phi(G)ϕ(G)也是交换群。设ggg是GGG的生成元，要证ϕ(G)\phi(G)ϕ(G)也是循环群，即证明ϕ(gn)=ϕ(g)n\phi(g^n)=\phi(g)^nϕ(gn)=ϕ(g)n。因为ϕ(g)n=ϕ(g)...ϕ(g)\phi(g)^n=\phi(g)...\phi(g)ϕ(g)n=ϕ(g)...ϕ(g),根据群同态，ϕ..

设GGG是群，HHH是GGG的子群。任取g1,g2∈Gg_1,g_2\in Gg1​,g2​∈G，则g1H=g2Hg_1H=g_2Hg1​H=g2​H当且仅当g1−1g2∈Hg_1^{-1}g_2\in Hg1−1​g2​∈H。充分性因为g1H=g2Hg_1H=g_2Hg1​H=g2​H，所以存在h1,h2∈Hh_1,h_2 \in Hh1​,h2​∈H，使得g1h1=g2h2g_1h_1=g_2h_2g1​h1​=g2​h2​，所以g1−1g2=h1h2−1g_1^{-1}g_2=h_1h_2..

命题群 G 的非空子集 H 是 G 的子群，当且仅当 H = ∅，且对任意 a, b ∈ H，ab−1∈Hab^{-1} ∈ Hab−1∈H，的证明。因为H是G的子群，所以H是一个群，则根据群的公理，H中的元素存在逆元，且该逆元∈\in∈H，所以b−1∈Hb^{-1} \in Hb−1∈H，根据群的封闭性，ab−1∈Hab^{-1}\in Hab−1∈H。若a,b∈Ha,b \in Ha,b∈H，且a=ba=ba=b，则有aa−1∈Haa^{-1}\in Haa−1∈H，所以e∈He \in He∈..

求解乘法逆元def egcd(a, b, f1, f2, s1, s2): if b == 0: return f1, f2, a return egcd(b, a % b, s1, s2, f1 - a // b * s1, f2 - a // b * s2)def get_mutiply_reverse(a, b): r1, r2, gcf = egcd(n1, n2, 1, 0, 0, 1) if gcf != 1: prin.

迭代版的gcdgcdgcd算法def gcd(a, b): while b != 0: tmp = a % b a = b b = tmp return an1 = eval(input())n2 = eval(input())print(gcd(n1, n2))递归版本的egcd算法def egcd(a, b, f1, f2, s1, s2): if b == 0: return f1, f..

无符号乘法a = eval(input()) b = eval(input())ans = 0while b != 0: if b & 1 == 1: ans = ans + a a = a << 1 b = b >> 1print(ans)假设b有nnn个bit，时间复杂度就是O(n2)O(n^2)O(n2)命题1.11.11.1的证明如果a∣ba | ba∣b, b∣cb|cb∣c，则有整数m,nm,nm..