40、非交换量子几何与量子力学的多视角解读

非交换量子几何与量子力学的多视角解读

1. 量子运动方程与格林函数

在量子力学中，有一个重要的方程为 $\frac{dU}{dt} = -iHU$。通过对相关矩阵细节的研究，可以确定其中的 $t$ 代表时间。这种方法对于 $x$ 和 $p$ 最高为二次的哈密顿量是精确的。

在经典力学里，有哈密顿 - 雅可比方程 $\frac{\partial S}{\partial t} + H(r, \nabla S) = 0$，其解 $S(r, r_0, t, t_0)$ 能生成经典运动。对于自由粒子，$S_{FP} = \frac{m(r - r_0)^2}{t - t_0}$；对于一维简谐振子，$S_{HO} = \frac{m\omega}{2 \sin \omega t}[(x^2 + x_0^2) \cos \omega t - 2xx_0]$，它们都是某二次表达式的特殊情况。

薛定谔方程通常写成 $i\frac{\partial \psi}{\partial t} = H\psi$，其格林函数解 $G(r, r_0, t, t_0)$ 能传播量子运动。自由粒子的格林函数为 $G_{FP} \propto \exp(\frac{im(r - r_0)^2}{t - t_0}) = \exp(iS_{FP}(r, r_0))$；简谐振子的格林函数为 $G_{HO} \propto \exp(\frac{im\omega}{2 \sin \omega t}[(x^2 - x_0^2) \cos \omega t - 2xx_0]) = \exp(iS_{HO}(r, r_0))$。这里的格林函数是经典哈密顿流的提升，与辛群 $Mp(2n)$ 中算子的表示直接相关。