8、基于边的波核图嵌入技术解析

基于边的波核图嵌入技术解析

1. 引言

图嵌入在机器学习和模式识别领域应用广泛，可用于聚类、分析和可视化关系数据，也是图特征化的有效手段，如ISOmap、拉普拉斯特征映射和热核嵌入等。嵌入后的图可用特征向量描述，方便利用欧几里得向量空间的几何分析工具。然而，当关系图的矩阵特征包含负特征值，即非半正定矩阵时，图无法嵌入欧几里得空间，而是伪欧几里得或克莱因空间，这一问题在文献中较少受到关注。

本文旨在将图的节点嵌入伪欧几里得空间中的伪黎曼流形表面，并以波核为研究框架。波核是波动方程的解，波动方程是描述各种波传播的重要二阶线性偏微分方程，其解为复数，存在于伪欧几里得空间。尽管波动方程在连续域已被广泛研究，但在图上的研究相对较少。与热核类似，波核可由组合拉普拉斯算子定义，不过这里使用的是Friedman引入的基于边的拉普拉斯算子。

2. 图嵌入到伪黎曼流形

2.1 基于边的波动方程

Friedman开发了一种基于图的波动方程，其基于组合拉普拉斯算子的变体——基于边的拉普拉斯算子。该方程与连续波动方程有有趣联系，且具有简单的物理解释：图的边可看作在顶点处相连的拉紧弦。

图论中定义的组合拉普拉斯算子 $L$ 作用于图顶点集上的函数，其波动方程 $U_{tt} = -LU$ 无法给出有限的波传播速度，与连续波动方程无简单联系。为解决此问题，Friedman引入了基于边的波动方程 $W_{tt} = -L_E W$，其中 $L_E$ 是基于边的拉普拉斯算子，是对连续拉普拉斯算子更好的近似，该方程的波传播速度为单位速度。

对于基于边的拉普拉斯算子，特征函数 $f$ 满足 $L_E f = \lambda f$ 且 $L f =