矩阵代数（五）- 矩阵因式分解

小结

1. $\mathbf{L}\mathbf{U}$分解
2. $\mathbf{L}\mathbf{U}$分解算法

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矩阵$\mathbf{A}$的因式分解是把$\mathbf{A}$表示为两个或更多个矩阵的乘积。

$\mathbf{L}\mathbf{U}$分解

1. 设$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，它可以行换简为阶梯形而不必行对换（此后，我们将处理一般情形），则$\mathbf{A}$可写成$\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}$，$\mathbf{L}$是$m\times m$下三角矩阵，主对角线全是1，$\mathbf{U}$是$\mathbf{A}$的一个$m\times n$阶梯形矩阵。这样一个分解称为**$\mathbf{L}\mathbf{U}$分解**，矩阵$\mathbf{L}$是可逆的，称为单位下三角矩阵。

当$\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}$时，方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{x}$可写成$\mathbf{L}(\mathbf{U}\mathbf{x})=\mathbf{b}$。把$\mathbf{U}\mathbf{x}$写成$\mathbf{y}$，可以由解下面一对方程来求解$\mathbf{x}$：$\{\begin{array}{l}\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{b}\\ \mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}\end{array}$

可以证明$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}3& -7& -2& 2\\ -3& 5& 1& 0\\ 6& -4& 0& -5\\ -9& 5& -5& 12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ 2& -5& 1& 0\\ -3& 8& 3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}3& -7& -2& 2\\ 0& -2& -1& 2\\ 0& 0& -1& 1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]=\mathbf{L}\mathbf{U}$
应用$\mathbf{A}$的$\mathbf{L}\mathbf{U}$分解来解$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}-9\\ 5\\ 7\\ 11\end{array}\right]$。
解：解$\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{b}$。
$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{L}& \mathbf{b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& -9\\ -1& 1& 0& 0& 5\\ 2& -5& 1& 0& 7\\ -3& 8& 3& 1& 11\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& -9\\ 0& 1& 0& 0& -4\\ 0& 0& 1& 0& 5\\ 0& 0& 0& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{I}& \mathbf{y}\end{array}\right]$
对$\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}$进行行化简的向后步骤。
$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{U}& \mathbf{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}3& -7& -2& 2& -9\\ 0& -2& -1& 2& 4\\ 0& 0& -1& 1& 5\\ 0& 0& 0& -1& 1\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 3\\ 0& 1& 0& 0& 4\\ 0& 0& 1& 0& -6\\ 0& 0& 0& 1& -1\end{array}\right]$
故$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\\ -6\\ -1\end{array}\right]$。

$\mathbf{L}\mathbf{U}$分解的计算依赖于如何求$\mathbf{L}$和$\mathbf{U}$。

$\mathbf{L}\mathbf{U}$分解算法

设$\mathbf{A}$可以化为阶梯形$\mathbf{U}$，化简过程中仅用行倍加变换，即把一行的倍数加于它下面的另一行。这样，存在单位下三角初等矩阵${\mathbf{E}}_1,\cdots ,{\mathbf{E}}_{\mathbf{p}}$使${\mathbf{E}}_{\mathbf{p}}\cdots {\mathbf{E}}_1\mathbf{A}=\mathbf{U}$。于是$\mathbf{A}=({\mathbf{E}}_{\mathbf{p}}\cdots {\mathbf{E}}_1{)}^{-1}\mathbf{U}=\mathbf{L}\mathbf{U}$，其中$\mathbf{L}=({\mathbf{E}}_{\mathbf{p}}\cdots {\mathbf{E}}_1{)}^{-1}$。可以证明$\mathbf{L}$是单位下三角矩阵。
注意将$\mathbf{A}$化为阶梯形$\mathbf{U}$过程中的行变换，它把$\mathbf{A}$化为$\mathbf{U}$。这写行变换也把$\mathbf{L}$化为$\mathbf{I}$，这是因为${\mathbf{E}}_{\mathbf{p}}\cdots {\mathbf{E}}_1\mathbf{L}={\mathbf{E}}_{\mathbf{p}}\cdots {\mathbf{E}}_1({\mathbf{E}}_{\mathbf{p}}\cdots {\mathbf{E}}_1{)}^{-1}=\mathbf{I}$

$\mathbf{L}\mathbf{U}$分解的算法：

1. 如果可能的话，用一系列的行倍加变换把$\mathbf{A}$化为阶梯形$\mathbf{U}$。
2. 填充$\mathbf{L}$的元素使相同的行变换把$\mathbf{L}$变为$\mathbf{I}$。

求下列矩阵的$\mathbf{L}\mathbf{U}$分解：$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}2& 4& -1& 5& -2\\ -4& -5& 3& -8& 1\\ 2& -5& -4& 1& 8\\ -6& 0& 7& -3& 1\end{array}\right]$
解：因$\mathbf{A}$有4行，故$\mathbf{L}$应为$4\times 4$矩阵。$\mathbf{L}$的第一列应该是$\mathbf{A}$的第一列除以它的第一行主元素：$\mathbf{L}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& 1& 0& 0\\ 1& & 1& 0\\ -3& & & 1\end{array}\right]$
比较$\mathbf{A}$和$\mathbf{L}$的第一列。把$\mathbf{A}$的第一列的后三个元素变成零的行变换同时也将$\mathbf{L}$的第一列的后三个元素变成0。
$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}2& 4& -1& 5& -2\\ -4& -5& 3& -8& 1\\ 2& -5& -4& 1& 8\\ -6& 0& 7& -3& 1\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccccc}2& 4& -1& 5& -2\\ 0& 3& 1& 2& -3\\ 0& -9& -3& -4& 10\\ 0& 12& 4& 12& -5\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccccc}2& 4& -1& 5& -2\\ 0& 3& 1& 2& -3\\ 0& 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 4& 7\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccccc}2& 4& -1& 5& -2\\ 0& 3& 1& 2& -3\\ 0& 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 5\end{array}\right]$
上式中标出的元素确定来将$\mathbf{A}$化为$\mathbf{U}$的行化简。在每个主元列，把标出的元素除以主元后将结果放入$\mathbf{L}$：$\mathbf{L}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& 1& 0& 0\\ 1& -3& 1& 0\\ -3& 4& 2& 1\end{array}\right]$。
容易证明，所求出的$\mathbf{L}$和$\mathbf{U}$满足$\mathbf{L}\mathbf{U}=\mathbf{A}$。