矩阵代数（五）- 矩阵因式分解

小结

1. $\mathbf{L}\mathbf{U}$分解
2. $\mathbf{L}\mathbf{U}$分解算法

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矩阵$\mathbf{A}$的因式分解是把$\mathbf{A}$表示为两个或更多个矩阵的乘积。

$\mathbf{L}\mathbf{U}$分解

1. 设$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，它可以行换简为阶梯形而不必行对换（此后，我们将处理一般情形），则$\mathbf{A}$可写成$\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}$，$\mathbf{L}$是$m\times m$下三角矩阵，主对角线全是1，$\mathbf{U}$是$\mathbf{A}$的一个$m\times n$阶梯形矩阵。这样一个分解称为**$\mathbf{L}\mathbf{U}$分解**，矩阵$\mathbf{L}$是可逆的，称为单位下三角矩阵。

当$\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}$时，方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{x}$可写成$\mathbf{L}(\mathbf{U}\mathbf{x})=\mathbf{b}$。把$\mathbf{U}\mathbf{x}$写成$\mathbf{y}$，可以由解下面一对方程来求解$\mathbf{x}$：$\{\begin{array}{l}\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{b}\\ \mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}\end{array}$

可以证明$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}3& -7& -2& 2\\ -3& 5& 1& 0\\ 6& -4& 0& -5\\ -9& 5& -5& 12\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ 2& -5& 1& 0\\ -3& 8& 3& 1\end{array}\right][\begin{array}{cccc}3& -7& -2& 2\\ 0& -2& -1& 2\\ 0& 0& -1& 1\\ 0& 0& 0& \end{array}$