矩阵代数（五）- 矩阵因式分解

最新推荐文章于 2024-09-12 20:49:05 发布

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#线性代数 #矩阵因式分解

本文详细介绍了矩阵的LU分解，包括其定义、算法及其应用。通过实例展示了如何将矩阵A分解为L和U两个矩阵，并利用LU分解解线性方程组Ax=b的过程。

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小结

$LU\boldsymbol{LU}$ 分解
$LU\boldsymbol{LU}$ 分解算法

矩阵 $A\boldsymbol{A}$ 的因式分解是把 $A\boldsymbol{A}$ 表示为两个或更多个矩阵的乘积。

$LU\boldsymbol{LU}$ 分解

设 $A\boldsymbol{A}$ 是 $\times n$ 矩阵，它可以行换简为阶梯形而不必行对换（此后，我们将处理一般情形），则 $A\boldsymbol{A}$ 可写成 $A=LU\boldsymbol{A}=\boldsymbol{LU}$ ， $L\boldsymbol{L}$ 是 $\times m$ 下三角矩阵，主对角线全是1， $U\boldsymbol{U}$ 是 $A\boldsymbol{A}$ 的一个 $\times n$ 阶梯形矩阵。这样一个分解称为** $LU\boldsymbol{LU}$ 分解**，矩阵 $L\boldsymbol{L}$ 是可逆的，称为单位下三角矩阵。

当 $A=LU\boldsymbol{A}=\boldsymbol{LU}$ 时，方程 $Ax=x\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{x}$ 可写成 $L(Ux)=b\boldsymbol{L}(\boldsymbol{Ux})=\boldsymbol{b}$ 。把 $Ux\boldsymbol{Ux}$ 写成 $y\boldsymbol{y}$ ，可以由解下面一对方程来求解 $x\boldsymbol{x}$ ： $Ly=bUx=y\begin{cases} \boldsymbol{Ly}=\boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{Ux} = \boldsymbol{y} \end{cases}$

可以证明 $A=[3−7−22−35106−40−5−95−512]=[1000−11002−510−3831][3−7−220−2−1200−11000−1]=LU\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}3 & -7 & -2 & 2 \\ -3 & 5 & 1 & 0 \\ 6 & -4 & 0 & -5 \\ -9 & 5 & -5 & 12 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ -3 & 8 & 3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & -7 & -2 & 2 \\ 0 & -2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}=\boldsymbol{LU}$