矩阵代数(五)- 矩阵因式分解

本文详细介绍了矩阵的LU分解,包括其定义、算法及其应用。通过实例展示了如何将矩阵A分解为L和U两个矩阵,并利用LU分解解线性方程组Ax=b的过程。

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小结

  1. LU\boldsymbol{LU}LU分解
  2. LU\boldsymbol{LU}LU分解算法

矩阵A\boldsymbol{A}A的因式分解是把A\boldsymbol{A}A表示为两个或更多个矩阵的乘积。

LU\boldsymbol{LU}LU分解

  1. A\boldsymbol{A}Am×nm \times nm×n矩阵,它可以行换简为阶梯形而不必行对换(此后,我们将处理一般情形),则A\boldsymbol{A}A可写成A=LU\boldsymbol{A}=\boldsymbol{LU}A=LUL\boldsymbol{L}Lm×mm \times mm×m下三角矩阵,主对角线全是1,U\boldsymbol{U}UA\boldsymbol{A}A的一个m×nm \times nm×n阶梯形矩阵。这样一个分解称为**LU\boldsymbol{LU}LU分解**,矩阵L\boldsymbol{L}L是可逆的,称为单位下三角矩阵。

A=LU\boldsymbol{A}=\boldsymbol{LU}A=LU时,方程Ax=x\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{x}Ax=x可写成L(Ux)=b\boldsymbol{L}(\boldsymbol{Ux})=\boldsymbol{b}L(Ux)=b。把Ux\boldsymbol{Ux}Ux写成y\boldsymbol{y}y,可以由解下面一对方程来求解x\boldsymbol{x}x{ Ly=bUx=y\begin{cases} \boldsymbol{Ly}=\boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{Ux} = \boldsymbol{y} \end{cases}{ Ly=bUx=y

可以证明A=[3−7−22−35106−40−5−95−512]=[1000−11002−510−3831][3−7−220−2−1200−11000−1]=LU\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}3 & -7 & -2 & 2 \\ -3 & 5 & 1 & 0 \\ 6 & -4 & 0 & -5 \\ -9 & 5 & -5 & 12 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ -3 & 8 & 3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & -7 & -2 & 2 \\ 0 & -2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}=\boldsymbol{LU}A=33697545210520512=11230158001300013000720021102211

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