线性代数笔记(5) 矩阵多项式的运用——哈密顿-凯莱定理

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#线性代数

本文介绍了哈密顿-凯莱定理的应用，该定理指出任何方阵满足其特征多项式。文章还探讨了如何通过此定理寻找矩阵的最小零化多项式，这是一种在代数学中极为重要的多项式。

定理概念

哈密顿-凯莱定理讲的就是将一个矩阵 A 的特征多项式 f(λ)
中的 λ 替换为矩阵本身后的多项式 f(A)，其值为0

在这里插入图片描述

使用

因此我们随便拿出一个矩阵 A 就可以直接写出一个恒等方程 f(A) = 0
这个方程可以用在很多地方
典型用法比如：
对于别的更高次的矩阵多项式
在这里插入图片描述
可以先用f(A)除F(A)得余式，其和F(A)等价
于是就很大程度降次了

最小零化多项式

上述的f(A)就是一种零化多项式，即带入A的值计算后答案为0矩阵的多项式
而这样的多项式有很多，他们都叫零化多项式
我们希望能找到次数最小、首项系数为1的那个，所谓最小零化多项式（这样它除别人得到的余式也最小，非常方便
有定理：

  1. 最小零化多项式存在且唯一。
  2. 最小零化特征多项式的根与特征多项式的根一样。

因此有求法是这样的：
首先得到A的特征多项式，f(λ)，我们把它因式分解，变成形如：

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