矩阵代数（六）- 子空间

小结

1. ${\mathbb{R}}^n$的子空间
2. 矩阵的列空间与零空间
3. 子空间的基

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${\mathbb{R}}^n$的子空间

定义 ${\mathbb{R}}^n$中的一个子空间是${\mathbb{R}}^n$中的集合$\mathbf{H}$，具有一下三个性质：
$\begin{array}{rl}a.& 零向量属于\mathbf{H}\\ b.& 对\mathbf{H}中任意的向量\mathbf{u}和\mathbf{v}，向量\mathbf{u}+\mathbf{v}属于\mathbf{H}\\ c.& 对\mathbf{H}中任意的向量\mathbf{u}和标量c，向量c\mathbf{u}属于\mathbf{H}\end{array}$
换句话说，子空间对加法和标量乘法运算是封闭的。

若${\mathbf{v}}_1$和${\mathbf{v}}_2$是${\mathbb{R}}^n$中的向量，H=Span{v1,v2}\boldsymbol{H}= Span \{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}\}H=Span{v1​,v2​}，证明$\mathbf{H}$是${\mathbb{R}}^n$的子空间。
证明：

1. $0=0{\mathbf{v}}_1+0{\mathbf{v}}_2$
2. 任意两个向量$\mathbf{u}=s_1{\mathbf{v}}_1+t_1{\mathbf{v}}_2，\mathbf{v}=s_2{\mathbf{v}}_1+t_2{\mathbf{v}}_2$。
   $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(s_1+s_2){\mathbf{v}}_1+(t_1+t_2){\mathbf{v}}_2$
   $\mathbf{u}+\mathbf{v}$也是${\mathbf{v}}_1$和${\mathbf{v}}_2$的线性组合，因此属于$\mathbf{H}$。
3. 对任意数$c，c\mathbf{u}=(c{s}_1){\mathbf{v}}_1+(c{t}_1){\mathbf{v}}_2$。
   $c\mathbf{u}$也是${\mathbf{v}}_1$和${\mathbf{v}}_2$的线性组合，因此属于$\mathbf{H}$。

若${\mathbf{v}}_1$不等零而${\mathbf{v}}_2$是${\mathbf{v}}_1$的倍数，则${\mathbf{v}}_1$和${\mathbf{v}}_2$仅生成通过原点的直线。所以通过原点的直线同样是子空间。不通过原点的一条直线$\mathbf{L}$不是子空间，因它不包括原点，且$\mathbf{L}$在加法或标量乘法下不是封闭的。

设${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$属于${\mathbb{R}}^n$，${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$的所有线性组合是${\mathbb{R}}^n$的子空间，我们称Span{v1,⋯ ,v2}Span \{\boldsymbol{v_1}, \cdots, \boldsymbol{v_2}\}Span{v1​,⋯,v2​}为由${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$生成（或张成）的子空间。注意${\mathbb{R}}^n$是它本身的子空间。另一个特殊的子空间是仅含零空间的集合，称为零子空间。

矩阵的列空间与零空间

应用中，${\mathbb{R}}^n$的子空间通常出现在一下两种情况中，它们都与矩阵有关。
矩阵$\mathbf{A}$的列空间是$\mathbf{A}$的各列的线性组合的集合，记作$Col\mathbf{A}$。
若$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{a}}_1& \cdots & {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\end{array}\right]$，它们各列属于${\mathbb{R}}^m$，则$Col\mathbf{A}$和Span{a1,⋯ ,an}Span \{\boldsymbol{a_1}, \cdots, \boldsymbol{a_n}\}Span{a1​,⋯,an​}相同。当$\mathbf{A}$的列生成${\mathbb{R}}^m$时，$Col\mathbf{A}$等于${\mathbb{R}}^m$。

设$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& -4\\ -4& 6& -2\\ -3& 7& 6\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ -4\end{array}\right]$，确定$\mathbf{b}$是否属于$\mathbf{A}$的列空间。
解：$\mathbf{b}$是否属于$\mathbf{A}$的列空间等同于确定方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$是否有解。把增广矩阵$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{b}\end{array}\right]$进行行化简。
$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& -4& 3\\ -4& 6& -2& 3\\ -3& 7& 6& -4\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& -4& 3\\ 0& -6& -18& 15\\ 0& -2& -6& 5\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& -3& -4& 3\\ 0& -6& -18& 15\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$
可知$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$相容，从而$\mathbf{b}$属于$Col\mathbf{A}$。
当线性方程组写成$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的形式时，$\mathbf{A}$的列空间是所有使方程组有解的向量$\mathbf{b}$的集合。

矩阵$\mathbf{A}$的零空间是齐次方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的所有解的集合，记为$Nul\mathbf{A}$。当$\mathbf{A}$有$n$列时，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的解属于${\mathbb{R}}^n$，$\mathbf{A}$的零空间是${\mathbb{R}}^n$的子集。

定理 12 $m\times n$矩阵$\mathbf{A}$的零空间是${\mathbb{R}}^n$的子空间。等价地，$n$个未知数的$m$个齐次线性方程的方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的所有解的集合是${\mathbb{R}}^n$的子空间。

子空间的基

因为子空间一般含有无穷多个向量，故子空间的问题最好能够通过研究生成这个子空间的一个小的有限集合来解决，这个集合越小越好。可以证明，最小可能的生成集合必是线性无关的。
${\mathbb{R}}^n$中子空间$\mathbf{H}$的一组基是$\mathbf{H}$中一个线性无关集，它生成$\mathbf{H}$。

可逆$n\times n$矩阵的各列构成${\mathbb{R}}^n$的一组基，因为它们线性无关，而且生成${\mathbb{R}}^n$。一个这样的矩阵是$n\times n$单位矩阵，它的各列用${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_{\mathbf{n}}$表示：
${\mathbf{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],\cdots ,{\mathbf{e}}_{\mathbf{n}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$。{e1,⋯ ,en}\{\boldsymbol{e_1},\cdots,\boldsymbol{e_n}\}{e1​,⋯,en​}称为${\mathbb{R}}^n$的标准基。

求矩阵$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}-3& 6& -1& 1& -7\\ 1& -2& 2& 3& -1\\ 2& -4& 5& 8& -4\end{array}\right]$的零空间的基。
解：首先把方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的解写成参数向量形式：
$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 0& -1& 3& 0\\ 0& 0& 1& 2& -2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right],\{\begin{array}{l}{x}_1=2x_2+x_4-3x_5\\ x_2为自由变量\\ x_3=-2x_4+2x_5\\ x_4为自由变量\\ x_5为自由变量\end{array}$
$\begin{array}{rl}\mathbf{x}& =\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x_2+x_4-3x_5\\ x_2\\ -2x_4+2x_5\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_5\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right]\\ & =x_2\mathbf{u}+x_4\mathbf{v}+x_5\mathbf{w}\end{array}$
{u,v,w}\{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\}{u,v,w}是$Nul\mathbf{A}$的一组基。

求矩阵$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -3& 5& 0\\ 0& 1& 2& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$的列空间的基。
解：用${\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_5$表示$\mathbf{B}$的列，容易得到${\mathbf{b}}_3=-3{\mathbf{b}}_1+2{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_4=5{\mathbf{b}}_1-{\mathbf{b}}_2$。${\mathbf{b}}_3,{\mathbf{b}}_4$是主元列的组合，这意味着${\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_5$的任意组合实际上仅是${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_5$的组合。
若$\mathbf{v}$是$Col\mathbf{B}$的任意向量
$\begin{array}{rl}\mathbf{v}& =c_1{\mathbf{b}}_1+c_2{\mathbf{b}}_2+c_3{\mathbf{b}}_3+c_4{\mathbf{b}}_4+c_5{\mathbf{b}}_5\\ & =c_1{\mathbf{b}}_1+c_2{\mathbf{b}}_2+c_3(-3{\mathbf{b}}_1+2{\mathbf{b}}_2)+c_4(5{\mathbf{b}}_1-{\mathbf{b}}_2)+c_5{\mathbf{b}}_5\end{array}$
所有$\mathbf{B}$的主元列构成$Col\mathbf{B}$的基。