线性方程组（十）- 小结

本篇文章对线性方程组知识进行一个小结。

线性方程组

线性方程组：
$\{\begin{array}{l}{a}_1{}_1{x}_1+\cdots +a_1{}_n{x}_n=b_1\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_m{}_1{x}_1+\cdots +a_m{}_n{x}_n=b_m\end{array}$
系数矩阵：$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1{}_1& \cdots & a_1{}_n\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_m{}_1& \cdots & a_m{}_n\end{array}\right]$
增广矩阵：$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1{}_1& \cdots & a_1{}_n& b_1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_m{}_1& \cdots & a_m{}_n& b_m\end{array}\right]$
m维向量：${\mathbf{a}}_{\mathbf{j}}=\left[\begin{array}{c}{a}_1{}_j\\ ⋮\\ a_m{}_j\end{array}\right](j=1,\cdots ,n),\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$
n维向量：$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$
向量组：{a1,⋯ ,an}\{\boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_n}\}{a1​,⋯,an​}
所有m维向量的集：${\mathbb{R}}^m$
所有n维向量的集：${\mathbb{R}}^n$
线性变换：$\mathbf{T}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$，其标准矩阵为$\mathbf{A}$

线性方程组还有如下两种表示方式：

1. 以矩阵形式表示：$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$
2. 以向量组形式表示：$x_1{\mathbf{a}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{b}$

行化简算法：

1. 确定主元列
2. 选组主元
3. 主元位置下面元素化0
4. 迭代处理子矩阵
5. 所有主元位置上面元素化0，主元化1

解线性方程组使用的行化简算法：

1. 写出方程组的增广矩阵
2. 应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形矩阵，确定方程组是否相容。若无解，则停止
3. 继续行化简算法得到它的简化阶梯形矩阵
4. 写出由第3步所得矩阵对应的方程组
5. 写出方程组的通解

线性方程组的解集的两种表示方式：

1. 参数形式（通解）
2. 参数向量形式

向量组的线性相关

若$\mathbf{b}=0$，线性方程组为齐次线性方程组；若$\mathbf{b}̸=0$，线性方程组为非齐次线性方程组。
非齐次线性方程组可以看作齐次线性方程组两边都加一个向量$\mathbf{b}$。非齐次线性方程组的解集可以看作齐次线性方程组的解集加一个向量$\mathbf{p}$，其中$\mathbf{p}$的各元素对应于非齐次线性方程组的系数矩阵的简化阶梯形形式的最后一列。

对于向量组的线性相关性，我们可以得到下列等价性质：

1. 向量组线性相关
2. 存在不全为零的权$c_1,\cdots ,c_n$，使得$c_1{\mathbf{a}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=0$
3. 齐次线性方程组有非平凡解

向量$\mathbf{b}$是否可以有向量组表示，我们可以得到下列等价性质：

1. 向量$\mathbf{b}$可以由向量组线性表示
2. 存在不全为零的权$c_1,\cdots ,c_n$，使得$c_1{\mathbf{a}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{b}$
3. 非齐次线性方程组有解

线性变换

线性变换是另一种思维。它将线性方程组是否有解变成为${\mathbb{R}}^n$上是否有一个向量$\mathbf{x}$能够映射到${\mathbb{R}}^m$的一个向量$\mathbf{b}$上。

根据$\mathbf{T}$是否满射，我们可以得到下列等价性质：

1. $\mathbf{T}$能够把${\mathbb{R}}^n$映上到${\mathbb{R}}^m$（满射）
2. $\mathbf{A}$的列生成${\mathbb{R}}^m$
3. $\mathbf{b}$取任意值，方程组均有解

根据$\mathbf{T}$是否单射，我们可得到下列等价性质：

1. $\mathbf{T}$是一对一的（单射）
2. $\mathbf{A}$的列线性无关
3. $\mathbf{b}$取任意值，方程组至多有一个解

参考文献

[1]姜敬敬.浅谈线性代数中矩阵、线性方程组及向量组的联系[J].教育教学论坛,2016(11):198-199.