线性方程组（九）- 线性变换的矩阵

最新推荐文章于 2024-05-31 22:13:32 发布

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#线性代数 #矩阵变换 #线性变换的矩阵 #满射与单射 #几何线性变换

本文介绍了线性变换的矩阵表示，包括如何通过线性变换的标准矩阵来描述R2到R3的变换。讨论了满射与单射的概念，并通过实例解释了如何判断线性变换是否能够将R4映射到R3以及是否为一对一映射。此外，还探讨了R2中的几何线性变换，如旋转、对称、收缩、拉伸和剪切变换的性质。

小结

线性变换的矩阵
$R2\mathbb{R}^{2}$ 中的集合线性变换
满射与单射

线性变换的矩阵

$I2=[1001]\boldsymbol{I_2}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ 的两列是 $e1=[10]\boldsymbol{e_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $e2=[01]\boldsymbol{e_2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}$ ，设 $T\boldsymbol{T}$ 是 $R2\mathbb{R}^{2}$ 到 $R3\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换，满足 $T(e1)=[5−72]，T(e2)=[−380]\boldsymbol{T(e_1)}=\begin{bmatrix}5 \\ -7 \\ 2\end{bmatrix}，\boldsymbol{T(e_2)}=\begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\ 0\end{bmatrix}$ 。求出 $R2\mathbb{R}^{2}$ 中任意向量 $x\boldsymbol{x}$ 的像的公式。
解：
$x=[x1x2]=x1[10]+x2[01]=x1e1+x2e2\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}=x_1\boldsymbol{e_1} + x_2\boldsymbol{e_2}$
因为 $T\boldsymbol{T}$ 是线性变换，所以：
$T(x)=T(x1e1+x2e2)=x1T(e1)+x2T(e2)=x1[5−72]+x2[−380]=[5−3−7820]x\quad\boldsymbol{T(x)} = \boldsymbol{T(}x_1\boldsymbol{e_1} + x_2\boldsymbol{e_2)} \\ = x_1\boldsymbol{T(e_1)} + x_2\boldsymbol{T(e_2)} \\ = x_1\begin{bmatrix}5 \\ -7 \\ 2\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\ 0\end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 5 & -3\\ -7 & 8 \\ 2 & 0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}$

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