线性方程组（九）- 线性变换的矩阵

小结

1. 线性变换的矩阵
2. ${\mathbb{R}}^2$中的集合线性变换
3. 满射与单射

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线性变换的矩阵

${\mathbf{I}}_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$的两列是${\mathbf{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$和${\mathbf{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，设$\mathbf{T}$是${\mathbb{R}}^2$到${\mathbb{R}}^3$的线性变换，满足$\mathbf{T}({\mathbf{e}}_1)=\left[\begin{array}{c}5\\ -7\\ 2\end{array}\right]，\mathbf{T}({\mathbf{e}}_2)=\left[\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0\end{array}\right]$。求出${\mathbb{R}}^2$中任意向量$\mathbf{x}$的像的公式。
解：
$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=x_1{\mathbf{e}}_1+x_2{\mathbf{e}}_2$
因为$\mathbf{T}$是线性变换，所以：
$$\begin{gathered} \mathbf{T}(\mathbf{x})=\mathbf{T}(x_1{\mathbf{e}}_1+x_2{\mathbf{e}}_2) \\ =x_1\mathbf{T}({\mathbf{e}}_1)+x_2\mathbf{T}({\mathbf{e}}_2) \\ =x_1\left[\begin{array}{c}5\\ -7\\ 2\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 0\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}5& -3\\ -7& 8\\ 2& 0\end{array}\right]\mathbf{x} \end{gathered}$$

定理 设$\mathbf{T}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$为线性变换，则存在唯一的矩阵$\mathbf{A}$，使得对${\mathbb{R}}^n$中一切$\mathbf{x}$，$\mathbf{T}(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}$。事实上，$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，它的第$j$列是向量$\mathbf{T}({\mathbf{e}}_{\mathbf{j}})$，其中${\mathbf{e}}_{\mathbf{j}}$是${\mathbb{R}}^n$中单位矩阵${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$的第$j$列：$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{T}({\mathbf{e}}_1)& \cdots & \mathbf{T}({\mathbf{e}}_{\mathbf{n}})\end{array}\right]$
证：
记$\mathbf{x}={\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ccc}{e}_1& \cdots & e_n\end{array}\right]\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1{e}_1& \cdots & x_n{e}_n\end{array}\right]$
由于$\mathbf{T}$是线性变换，所以：
$$\begin{gathered} \mathbf{T}(\mathbf{x})=\mathbf{T}(x_1{\mathbf{e}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{e}}_{\mathbf{n}}) \\ =x_1\mathbf{T}({\mathbf{e}}_1)+\cdots +x_n\mathbf{T}({\mathbf{e}}_{\mathbf{n}}) \\ =\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{T}({\mathbf{e}}_1)& \cdots & \mathbf{T}({\mathbf{e}}_2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{T}({\mathbf{e}}_1)& \cdots & \mathbf{T}({\mathbf{e}}_2)\end{array}\right]\mathbf{x}=\mathbf{A}\mathbf{x} \end{gathered}$$
其中矩阵$\mathbf{A}$称为线性变换的标准矩阵。

由${\mathbb{R}}^n$到${\mathbb{R}}^m$的每个线性变换都可看作是矩阵变换，反之亦然。术语线性变换强调映射的性质，而矩阵变换描述这样的映射如何实现。

${\mathbb{R}}^2$中的几何线性变换

设$\mathbf{T}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$为把${\mathbb{R}}^2$中每一个点绕原点逆时针正角度$\phi$的变换。我们可以从几何上证明这个变换是线性变换。求出这个变换的标准矩阵。

解：$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$旋转成为$\left[\begin{array}{c}cos\phi \\ sin\phi \end{array}\right]$，$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$旋转成为$\left[\begin{array}{c}-sin\phi \\ cos\phi \end{array}\right]$。
$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{T}({\mathbf{e}}_1)& \mathbf{T}({\mathbf{e}}_1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi \end{array}\right]$

对称变换

变换	标准矩阵
关于$x_1$轴的对称	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$
关于$x_2$轴的对称	$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
关于$x_2=x_1$的对称	$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$
关于$x_2=-x_1$的对称	$\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right]$
关于原点的对称	$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

收缩与拉伸

变换	标准矩阵
水平收缩与拉伸	$\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
垂直收缩与拉伸	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& k\end{array}\right]$

剪切变换

变换	标准矩阵
水平剪切	$\left[\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right]$
垂直剪切	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ k& 1\end{array}\right]$

投影

变换	标准矩阵
投影到$x_1$轴上	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$
投影到$x_2$轴上	$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

满射与单射

映射$\mathbf{T}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$称为到${\mathbb{R}}^m$上的映射，若${\mathbb{R}}^m$中每个$\mathbf{b}$是${\mathbb{R}}^n$中至少一个$\mathbf{x}$的像。（也称为满射）
等价地，当$\mathbf{T}$的值域是整个余定义域${\mathbb{R}}^m$时，$\mathbf{T}$是到${\mathbb{R}}^m$上的映射。也就是说，若对${\mathbb{R}}^m$中每个$\mathbf{b}$，方程$\mathbf{T}(\mathbf{x})=\mathbf{b}$至少有一个解。

映射$\mathbf{T}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$称为到${\mathbb{R}}^m$上的一对一映射，若${\mathbb{R}}^m$中每个$\mathbf{b}$是${\mathbb{R}}^n$中至多一个$\mathbf{x}$的像。（也称为单射）
等价地，$\mathbf{T}$是到${\mathbb{R}}^m$上的一对一映射，若对${\mathbb{R}}^m$中每个$\mathbf{b}$，方程$\mathbf{T}(\mathbf{x})=\mathbf{b}$有唯一的解或没有解。
上面的表格中，投影不是一对一映射，也不能将${\mathbb{R}}^2$映上到${\mathbb{R}}^2$；其他（对称变换、收缩与拉伸、剪切变换）都是一对一映射，也能将${\mathbb{R}}^2$映上到${\mathbb{R}}^2$。

设$\mathbf{T}$是线性变换，它的标准矩阵为$\left[\begin{array}{cccc}1& -4& 8& 1\\ 0& 2& -1& 3\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right]$。$\mathbf{T}$会否把${\mathbb{R}}^4$映上到${\mathbb{R}}^3$？$\mathbf{T}$是否是一对一映射？
解：因为$\mathbf{A}$已经是阶梯形矩阵，可立即看出，$\mathbf{A}$在每一行有主元位置，对${\mathbb{R}}^3$中每个$\mathbf{b}$，方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$相容。也就是说，线性变换$\mathbf{T}$能将${\mathbb{R}}^4$映射到${\mathbb{R}}^3$上。然而因为方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有一个自由变量，每个$\mathbf{b}$都有多个$\mathbf{x}$的像。所以$\mathbf{T}$不是一对一映射。

设$\mathbf{T}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是线性变换，$\mathbf{A}$为$\mathbf{T}$的标准矩阵，则

1. $\mathbf{T}$把${\mathbb{R}}^n$映上到${\mathbb{R}}^m$当且仅当$\mathbf{A}$的列生成${\mathbb{R}}^m$。
2. $\mathbf{T}$是一对一的，当且仅当$\mathbf{A}$的列线性无关。