矩阵代数(一)- 矩阵运算

本文深入讲解了矩阵的基本概念,包括矩阵的表示、元素标识、特殊矩阵类型如对角矩阵和零矩阵。详细介绍了矩阵的加法、减法、标量乘法及相应的性质,矩阵乘法的计算规则和性质,矩阵的乘幂以及矩阵转置的概念和性质。通过实例演示了各种矩阵运算的具体操作。

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小结

  1. 和与标量乘法
  2. 矩阵乘法
  3. 矩阵的乘幂
  4. 矩阵的转置

A\boldsymbol{A}Am×nm \times nm×n矩阵,即有mmmnnn列的矩阵,则A\boldsymbol{A}A的第iii行第jjj列的元素用ai​ja_i\!_jaij表示,称为A\boldsymbol{A}A(i,j)(i,j)(i,j)元素。A\boldsymbol{A}A的各列是Rm\mathbb{R}^{m}Rm中的向量,用a1,⋯ ,an\boldsymbol{a_1},\cdots,\boldsymbol{a_n}a1,,an表示,写作A=[a1⋯an]\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a_1} & \cdots & \boldsymbol{a_n} \end{bmatrix}A=[a1an]
m×nm \times nm×n矩阵A\boldsymbol{A}A的对角线元素是a1​1,a2​2,⋯a_1\!_1, a_2\!_2,\cdotsa11,a22,,它们组成A\boldsymbol{A}A的主对角线。对角矩阵是一个方阵,它的非对角线元素全是0。元素全是0的m×nm \times nm×n矩阵为零矩阵,用0\boldsymbol{0}0表示。

和与标量运算

我们称两个矩阵相等,若它们有相同的维数(即有相同的行数和列数),而且对应元素相等。A+B\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}A+B的每个元素就是A\boldsymbol{A}AB\boldsymbol{B}B的对应元素相加。仅当A\boldsymbol{A}AB\boldsymbol{B}B有相同维数,A+B\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}A+B才有定义。
rrr是标量而A\boldsymbol{A}A是矩阵,则标量乘法rAr\boldsymbol{A}rA是一个矩阵,它的每一列是A\boldsymbol{A}A的对应列的rrr倍。

A=[405−132],B=[111357]\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}4 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 2\end{bmatrix}, \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 7\end{bmatrix}A=[410352],B=[131517],求A−2B\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{B}A2B
解:
A−2B=[405−132]−2[111357]=[405−132]−[22261014]=[2−23−7−7−12]\quad \boldsymbol{A}-2\boldsymbol{B} \\ = \begin{bmatrix}4 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 2\end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 7\end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix}4 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}2 & 2 & 2 \\ 6 & 10 & 14\end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix}2 & -2 & 3 \\ -7 & -7 & -12\end{bmatrix}A2B=[410352]2[131517]=[410352][26210214]=[2727312]

定理1   \;A,B,C\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}A,B,C是相同维数的矩阵,rrrsss为标量,则有
a.  A+B=B+Ab.  (A+B)+C=A+(B+C)c.  A+0=Ad.  r(A+B)=rA+rBe.  (r+s)A=rA+sAf.  r(sA)=(rs)A\begin{aligned} & a.\;\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A} & & b.\;(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})+\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}) \\ & c.\;\boldsymbol{A} + \boldsymbol{0}=\boldsymbol{A} & & d.\;r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})=r\boldsymbol{A} + r\boldsymbol{B} \\ & e.\;(r+s)\boldsymbol{A}=r\boldsymbol{A}+s\boldsymbol{A} & & f.\;r(s\boldsymbol{A})=(rs)\boldsymbol{A} \end{aligned}a.A+B=B+Ac.A+0=Ae.(r+s)A=rA+sAb.(A+B)+C=A+(B+C)d.r(A+B)=rA+rBf.r(sA)=(rs)A

矩阵乘法

A\boldsymbol{A}Am×nm \times nm×n矩阵,B\boldsymbol{B}Bn×pn \times pn×p矩阵,用b1,⋯ ,bp\boldsymbol{b_1},\cdots,\boldsymbol{b_p}b1,,bp表示B\boldsymbol{B}B的各列,则乘积AB\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}ABm×pm \times pm×p矩阵,它的各列是Ab1,⋯ ,Abp\boldsymbol{Ab_1},\cdots,\boldsymbol{Ab_p}Ab1,,Abp。即
AB=A[b1⋯bp]=[Ab1⋯Abp]\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}\begin{bmatrix}\boldsymbol{b_1} & \cdots & \boldsymbol{b_p}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{Ab_1} & \cdots & \boldsymbol{Ab_p}\end{bmatrix}AB=A[b1bp]=[Ab1Abp]

计算AB\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}AB,其中A=[231−5],B=[4361−23]\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -5\end{bmatrix},\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}4 & 3 & 6 \\ 1 & -2 & 3\end{bmatrix}A=[2135],B=[413263]
解:利用(行-向量规则)规则计算Ab1,Ab2,Ab3\boldsymbol{Ab_1},\boldsymbol{Ab_2},\boldsymbol{Ab_3}Ab1,Ab2,Ab3
Ab1=[231−5][41]=[2×4+3×11×4+(−5)×1]=[11−1]Ab1=[231−5][3−2]=[2×3+3×(−2)1×3+(−5)×(−2)]=[013]Ab1=[231−5][63]=[2×6+3×31×6+(−5)×3]=[21−9]AB=[Ab1Ab2Ab3]=[11021−113−9]\begin{aligned} & \boldsymbol{Ab_1}=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 \times 4 + 3 \times 1 \\ 1 \times 4 + (-5) \times 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}11 \\ -1\end{bmatrix} \\ & \boldsymbol{Ab_1}=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 \\ -2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 \times 3 + 3 \times (-2) \\ 1 \times 3 + (-5) \times (-2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 13\end{bmatrix} \\ & \boldsymbol{Ab_1}=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6 \\ 3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 \times 6 + 3 \times 3 \\ 1 \times 6 + (-5) \times 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}21 \\ -9\end{bmatrix} \\ & \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix}\boldsymbol{Ab_1} & \boldsymbol{Ab_2} & \boldsymbol{Ab_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}11 & 0 & 21 \\ -1 & 13 & -9\end{bmatrix} \end{aligned}Ab1=[2135][41]=[2×4+3×11×4+(5)×1]=[111]Ab1=[2135][32]=[2×3+3×(2)1×3+(5)×(2)]=[013]Ab1=[2135][63]=[2×6+3×31×6+(5)×3]=[219]AB=[Ab1Ab2Ab3]=[111013219]

AB\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}AB的每一列都是A\boldsymbol{A}A的各列的线性组合,以B\boldsymbol{B}B的对应列的元素为权。

计算AB\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}AB的行列法则
若乘积AB\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}AB有定义,则AB\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}AB的第iii行第jjj列的元素是A\boldsymbol{A}A的第iii行与第jjj列对应元素乘积之和。若(AB)i​j(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})_i\!_j(AB)ij表示AB\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}AB(i,j)(i,j)(i,j)元素,A\boldsymbol{A}Am×nm \times nm×n矩阵,则(AB)i​j=ai​1b1​j+⋯+ai​nbn​j(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})_i\!_j=a_i\!_1b_1\!_j+\cdots+a_i\!_nb_n\!_j(AB)ij=ai1b1j++ainbnj

AB\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}AB,其中A=[2−50−13−46−8−7−309],B=[4−67132]\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2 & -5 & 0 \\ -1 & 3 & -4 \\ 6 & -8 & -7 \\ -3 & 0 & 9\end{bmatrix}, \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}4 & -6 \\ 7 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}A=216353800479,B=473612
解:
AB=[2−50−13−46−8−7−309][4−67132]=[2×4+(−5)×7+0×32×(−6)+(−5)×1+0×2(−1)×4+3×7+(−4)×3(−1)×(−6)+3×1+(−4)×26×4+(−8)×7+(−7)×36×(−6)+(−8)×1+(−7)×2(−3)×4+0×7+9×3(−3)×(−6)+0×1+9×2]=[−27−1751−53−581536]\begin{aligned} \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} &= \begin{bmatrix}2 & -5 & 0 \\ -1 & 3 & -4 \\ 6 & -8 & -7 \\ -3 & 0 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 & -6 \\ 7 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}2 \times 4 + (-5) \times 7 + 0 \times 3 & 2 \times (-6) + (-5) \times 1 + 0 \times 2 \\ (-1) \times 4 + 3 \times 7 + (-4) \times 3 & (-1) \times (-6) + 3 \times 1 + (-4) \times 2 \\ 6 \times 4 + (-8) \times 7 + (-7) \times 3 & 6 \times (-6) + (-8) \times 1 + (-7) \times 2 \\ (-3) \times 4 + 0 \times 7 + 9 \times 3 & (-3) \times (-6) + 0 \times 1 + 9 \times 2\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}-27 & -17 \\ 5 & 1 \\ -53 & -58 \\ 15 & 36\end{bmatrix} \end{aligned}AB=216353800479473612=2×4+(5)×7+0×3(1)×4+3×7+(4)×36×4+(8)×7+(7)×3(3)×4+0×7+9×32×(6)+(5)×1+0×2(1)×(6)+3×1+(4)×26×(6)+(8)×1+(7)×2(3)×(6)+0×1+9×2=27553151715836

矩阵乘法的性质

定理2   \;A\boldsymbol{A}Am×nm \times nm×n矩阵,Im\boldsymbol{I}_mIm表示m×mm \times mm×m单位矩阵,In\boldsymbol{I}_nIn表示n×nn \times nn×n单位矩阵,rrr为标量,B\boldsymbol{B}BC\boldsymbol{C}C的维数是下列各式的乘积有定义。
a.  A(BC)=(AB)Cb.  A(B+C)=AC+BCc.  (B+C)A=BA+BCd.  r(AB)=(rA)B=A(rB)e.  ImA=A=AIn\begin{aligned} & a.\;\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})=(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{C} & & b.\;\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{AC}+\boldsymbol{BC} \\ & c.\;(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})\boldsymbol{A}=\boldsymbol{BA}+\boldsymbol{BC} & & d.\;r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})=(r\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(r\boldsymbol{B}) \\ & e.\;\boldsymbol{I}_m\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{I}_n \end{aligned}a.A(BC)=(AB)Cc.(B+C)A=BA+BCe.ImA=A=AInb.A(B+C)=AC+BCd.r(AB)=(rA)B=A(rB)

注意:

  1. 一般情况下,AB≠BA\boldsymbol{AB}\neq\boldsymbol{BA}AB̸=BA
  2. AB=AC\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{AC}AB=AC,一般情况下,B=C\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}B=C并不成立
  3. 若乘积AB\boldsymbol{AB}AB是零矩阵,一般情况下,不能断定A=0\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}A=0B=0\boldsymbol{B}=\boldsymbol{0}B=0

矩阵的乘幂

A\boldsymbol{A}An×nn \times nn×n矩阵,kkk是正整数,则Ak\boldsymbol{A}^{k}Ak表示kkkA\boldsymbol{A}A的乘积:
Ak=A⋯A⎵k个\boldsymbol{A}^{k}=\underbrace{\boldsymbol{A}\cdots\boldsymbol{A}}_{k个}Ak=kAA

A\boldsymbol{A}A不是零矩阵,且x\boldsymbol{x}x属于Rn\mathbb{R}^{n}Rn,则Akx\boldsymbol{A}^{k}\boldsymbol{x}Akx表示x\boldsymbol{x}xA\boldsymbol{A}A连续左乘kkk次。若k=0k=0k=0,则A0x\boldsymbol{A}^{0}\boldsymbol{x}A0x就是x\boldsymbol{x}x本身。因此A0\boldsymbol{A}^{0}A0被解释为单位矩阵。

矩阵的转置

给定m×nm \times nm×n矩阵A\boldsymbol{A}A,则A\boldsymbol{A}A转置是一个n×mn \times mn×m矩阵,用AT\boldsymbol{A}^{T}AT表示,它的列是由A\boldsymbol{A}A的对应行构成的。

A=[1111−35−27]\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ -3 & 5 & -2 & 7\end{bmatrix}A=[13151217],则AT=[1−3151−217]\boldsymbol{A}^{T}=\begin{bmatrix}1 & -3 \\ 1 & 5 \\ 1 & -2 \\ 1 & 7\end{bmatrix}AT=11113527

定理3   \;A\boldsymbol{A}AB\boldsymbol{B}B表示矩阵,rrr表示标量,其维数使下列和与积有定义,则
a.  (AT)T=Ab.  (A+B)T=AT+BTc.  (rA)T=rATd.  (AB)T=BTAT\begin{aligned} & a.\;(\boldsymbol{A}^{T})^{T}=\boldsymbol{A} & & b.\;(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{T}=\boldsymbol{A}^{T}+\boldsymbol{B}^{T} \\ & c.\;(r\boldsymbol{A})^{T}=r\boldsymbol{A}^{T} & & d.\;(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{T}=\boldsymbol{B}^{T}\boldsymbol{A}^{T} \end{aligned}a.(AT)T=Ac.(rA)T=rATb.(A+B)T=AT+BTd.(AB)T=BTAT

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