矩阵代数（一）- 矩阵运算

小结

1. 和与标量乘法
2. 矩阵乘法
3. 矩阵的乘幂
4. 矩阵的转置

---

若$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，即有$m$行$n$列的矩阵，则$\mathbf{A}$的第$i$行第$j$列的元素用$a_i{}_j$表示，称为$\mathbf{A}$的$(i,j)$元素。$\mathbf{A}$的各列是${\mathbb{R}}^m$中的向量，用${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$表示，写作$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{a}}_1& \cdots & {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\end{array}\right]$。
$m\times n$矩阵$\mathbf{A}$的对角线元素是$a_1{}_1,a_2{}_2,\cdots$，它们组成$\mathbf{A}$的主对角线。对角矩阵是一个方阵，它的非对角线元素全是0。元素全是0的$m\times n$矩阵为零矩阵，用$0$表示。

和与标量运算

我们称两个矩阵相等，若它们有相同的维数（即有相同的行数和列数），而且对应元素相等。$\mathbf{A}+\mathbf{B}$的每个元素就是$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$的对应元素相加。仅当$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$有相同维数，$\mathbf{A}+\mathbf{B}$才有定义。
若$r$是标量而$\mathbf{A}$是矩阵，则标量乘法$r\mathbf{A}$是一个矩阵，它的每一列是$\mathbf{A}$的对应列的$r$倍。

设$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 5\\ -1& 3& 2\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 5& 7\end{array}\right]$，求$\mathbf{A}-2\mathbf{B}$
解：
$$\begin{gathered} \mathbf{A}-2\mathbf{B} \\ =\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 5\\ -1& 3& 2\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 5& 7\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 5\\ -1& 3& 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 6& 10& 14\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}2& -2& 3\\ -7& -7& -12\end{array}\right] \end{gathered}$$

定理1   \;设$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$是相同维数的矩阵，$r$与$s$为标量，则有
$\begin{array}{rlrl}& a.\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}& & b.(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})\\ & c.\mathbf{A}+0=\mathbf{A}& & d.r(\mathbf{A}+\mathbf{B})=r\mathbf{A}+r\mathbf{B}\\ & e.(r+s)\mathbf{A}=r\mathbf{A}+s\mathbf{A}& & f.r(s\mathbf{A})=(rs)\mathbf{A}\end{array}$

矩阵乘法

若$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，$\mathbf{B}$是$n\times p$矩阵，用${\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}$表示$\mathbf{B}$的各列，则乘积$\mathbf{A}\mathbf{B}$是$m\times p$矩阵，它的各列是$\mathbf{A}{\mathbf{b}}_1,\cdots ,\mathbf{A}{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}$。即
$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{b}}_1& \cdots & {\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{A}{\mathbf{b}}_1& \cdots & \mathbf{A}{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}\end{array}\right]$

计算$\mathbf{A}\mathbf{B}$，其中$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -5\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}4& 3& 6\\ 1& -2& 3\end{array}\right]$
解：利用（行-向量规则）规则计算$\mathbf{A}{\mathbf{b}}_1,\mathbf{A}{\mathbf{b}}_2,\mathbf{A}{\mathbf{b}}_3$
$\begin{array}{rl}& \mathbf{A}{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\times 4+3\times 1\\ 1\times 4+(-5)\times 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}11\\ -1\end{array}\right]\\ & \mathbf{A}{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\times 3+3\times (-2)\\ 1\times 3+(-5)\times (-2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 13\end{array}\right]\\ & \mathbf{A}{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\times 6+3\times 3\\ 1\times 6+(-5)\times 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}21\\ -9\end{array}\right]\\ & \mathbf{A}\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{A}{\mathbf{b}}_1& \mathbf{A}{\mathbf{b}}_2& \mathbf{A}{\mathbf{b}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}11& 0& 21\\ -1& 13& -9\end{array}\right]\end{array}$

$\mathbf{A}\mathbf{B}$的每一列都是$\mathbf{A}$的各列的线性组合，以$\mathbf{B}$的对应列的元素为权。

计算$\mathbf{A}\mathbf{B}$的行列法则
若乘积$\mathbf{A}\mathbf{B}$有定义，则$\mathbf{A}\mathbf{B}$的第$i$行第$j$列的元素是$\mathbf{A}$的第$i$行与第$j$列对应元素乘积之和。若$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}_i{}_j$表示$\mathbf{A}\mathbf{B}$的$(i,j)$元素，$\mathbf{A}$为$m\times n$矩阵，则$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}_i{}_j=a_i{}_1{b}_1{}_j+\cdots +a_i{}_n{b}_n{}_j$

求$\mathbf{A}\mathbf{B}$，其中$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}2& -5& 0\\ -1& 3& -4\\ 6& -8& -7\\ -3& 0& 9\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}4& -6\\ 7& 1\\ 3& 2\end{array}\right]$
解：
$\begin{array}{rl}\mathbf{A}\mathbf{B}& =\left[\begin{array}{ccc}2& -5& 0\\ -1& 3& -4\\ 6& -8& -7\\ -3& 0& 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}4& -6\\ 7& 1\\ 3& 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}2\times 4+(-5)\times 7+0\times 3& 2\times (-6)+(-5)\times 1+0\times 2\\ (-1)\times 4+3\times 7+(-4)\times 3& (-1)\times (-6)+3\times 1+(-4)\times 2\\ 6\times 4+(-8)\times 7+(-7)\times 3& 6\times (-6)+(-8)\times 1+(-7)\times 2\\ (-3)\times 4+0\times 7+9\times 3& (-3)\times (-6)+0\times 1+9\times 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}-27& -17\\ 5& 1\\ -53& -58\\ 15& 36\end{array}\right]\end{array}$

矩阵乘法的性质

定理2   \;设$\mathbf{A}$为$m\times n$矩阵，${\mathbf{I}}_m$表示$m\times m$单位矩阵,${\mathbf{I}}_n$表示$n\times n$单位矩阵，$r$为标量，$\mathbf{B}$和$\mathbf{C}$的维数是下列各式的乘积有定义。
$\begin{array}{rlrl}& a.\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})=(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}& & b.\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\mathbf{C}+\mathbf{B}\mathbf{C}\\ & c.(\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{B}\mathbf{C}& & d.r(\mathbf{A}\mathbf{B})=(r\mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(r\mathbf{B})\\ & e.{\mathbf{I}}_m\mathbf{A}=\mathbf{A}=\mathbf{A}{\mathbf{I}}_n& & \end{array}$

注意：

1. 一般情况下，$\mathbf{A}\mathbf{B}̸=\mathbf{B}\mathbf{A}$
2. 若$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{C}$，一般情况下，$\mathbf{B}=\mathbf{C}$并不成立
3. 若乘积$\mathbf{A}\mathbf{B}$是零矩阵，一般情况下，不能断定$\mathbf{A}=0$或$\mathbf{B}=0$

矩阵的乘幂

若$\mathbf{A}$是$n\times n$矩阵，$k$是正整数，则${\mathbf{A}}^k$表示$k$个$\mathbf{A}$的乘积：
${\mathbf{A}}^k=\underset{k个}{\underbrace{\mathbf{A}\cdots \mathbf{A}}}$

若$\mathbf{A}$不是零矩阵，且$\mathbf{x}$属于${\mathbb{R}}^n$，则${\mathbf{A}}^k\mathbf{x}$表示$\mathbf{x}$被$\mathbf{A}$连续左乘$k$次。若$k=0$，则${\mathbf{A}}^0\mathbf{x}$就是$\mathbf{x}$本身。因此${\mathbf{A}}^0$被解释为单位矩阵。

矩阵的转置

给定$m\times n$矩阵$\mathbf{A}$，则$\mathbf{A}$的转置是一个$n\times m$矩阵，用${\mathbf{A}}^T$表示，它的列是由$\mathbf{A}$的对应行构成的。

若$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ -3& 5& -2& 7\end{array}\right]$，则${\mathbf{A}}^T=\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ 1& 5\\ 1& -2\\ 1& 7\end{array}\right]$

定理3   \;设$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$表示矩阵，$r$表示标量，其维数使下列和与积有定义，则
$\begin{array}{rlrl}& a.({\mathbf{A}}^T{)}^T=\mathbf{A}& & b.(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^T={\mathbf{A}}^T+{\mathbf{B}}^T\\ & c.(r\mathbf{A}{)}^T=r{\mathbf{A}}^T& & d.(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^T={\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T\end{array}$