11、多元函数优化：理论、方法与MATLAB实现

多元函数优化：理论、方法与MATLAB实现

1. 多元函数优化基础

1.1 二阶导数判别法

在多元函数优化中，二阶导数判别法是一个重要的工具。对于一个二元函数 ( f(x, y) )，其黑塞矩阵（Hessian matrix）的行列式被称为 ( f ) 的判别式。判别式 ( \text{det Hess} f ) 与函数的局部极值密切相关，具体规则如下：
- 若 ( \nabla f(x_0, y_0) = 0 ) 且 ( \text{det Hess} f > 0 ) 在点 ( (x_0, y_0) ) 处成立：
- 当 ( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ) 和 ( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} ) 在 ( (x_0, y_0) ) 处均为正时，函数 ( f ) 在该点有严格局部最小值。
- 当 ( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ) 和 ( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} ) 在 ( (x_0, y_0) ) 处均为负时，函数 ( f ) 在该点有严格局部最大值。
- 若 ( \nabla f(x_0, y_0) = 0 ) 且 ( \text{det Hess} f < 0 ) 在点 ( (x_0, y_0) ) 处成立：函数 ( f ) 在该点没有局部极值，而是有一个鞍点。在鞍点处，函数在某些方向上递增，在其他方向上递减。可以使用 fcontour 函数来可视化这种行为，例如：

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