27、生态与数学建模：从捕食者 - 猎物模型到混沌系统及图形用户界面

生态与数学建模：从捕食者 - 猎物模型到混沌系统及图形用户界面

1. 生态相关问题

在生态领域，存在着一些与人类活动和物种引入相关的问题。例如，用木材熏制鱼来保存鱼的方式导致了树木存量的减少。另外，传染性且常致命的血吸虫病的传播也与尼罗河鲈鱼的引入有关。

2. 捕食者 - 猎物模型

2.1 模型基础

捕食者 - 猎物模型描述了捕食者和猎物种群的发展，该模型涵盖两个营养级。最简单的方法可追溯到上世纪 20 年代的出版物。1926 年，Volterra 尝试用一组两个常微分方程来解释亚得里亚海鱼类捕获量的振荡现象：
[
\begin{cases}
\frac{\partial c_1}{\partial t} = c_1 (r_1 - a_1c_2) \
\frac{\partial c_2}{\partial t} = c_2 (a_2c_1 - r_2)
\end{cases}
]
其中 (c_1) 是猎物种群，(c_2) 是捕食者种群，(r_1)、(r_2)、(a_1) 和 (a_2) 为正参数。同时，Lotka 也为化学物种系统开发了相同的方法，但 Volterra 是第一个将该系统应用于生态问题的人，因此常称此为 Lotka - Volterra 模型。

2.2 模型假设与特点

该模型假设在没有捕食者 - 猎物相互作用时，猎物种群将以速率 (r_1) 呈指数增长，捕食者种群将以速率 (r_2) 呈指数减少。然而，整体行为中相互作用至关重要，猎物消耗和捕食者种群增长都随 (c_1) 和 (c_2) 增加或减少，这通过包含 (c_1c_2