26、线性与非线性系统的特征分析及应用

线性与非线性系统的特征分析及应用

1. 特征值与相空间

特征值在深入理解微分方程组系统的行为方面起着关键作用。对于任意方阵 $C$，特征值 $\lambda$ 是使得线性方程组 $Cx = \lambda x$ 存在非零解向量 $x$ 的值，这个向量 $x$ 被称为对应特征值 $\lambda$ 的特征向量。

在 MATLAB 中，可以使用 eig 命令来计算特征值。例如，矩阵 $\begin{bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{bmatrix}$ 的特征值为 $\lambda_1 = -0.3723$ 和 $\lambda_2 = 5.3723$。对角矩阵的特征值就是其对角线上的元素。

一个 $N$ 行 $N$ 列的方阵有 $N$ 个特征值，有些特征值可能需要重复计算，其重复的次数被称为该特征值的阶数。例如，某些矩阵可能有特征值 1 和 2 ，其中 1 的阶数为 2，在 MATLAB 输出列表中会出现两次。单位矩阵只有一个特征值 1 ，但其阶数为 $N$。

一般来说，特征值可以是复数，这对于 MATLAB 来说并不是问题。例如，某些矩阵的特征值为 $\lambda_{1,2} = 1 \pm 2i$，其中 $i$ 是虚数单位 $i = \sqrt{-1}$。同时，也可以通过 eig 命令获取特征向量，具体细节可参考 MATLAB 帮助系统。

特征值与线性微分方程组的解的行为密切相关。特征值的负实部表明非稳态解正在向平衡点收敛，平衡