17、环境建模中的参数估计与流动建模

环境建模中的参数估计与流动建模

在环境科学的研究中，参数估计和流动建模是非常重要的两个方面。参数估计有助于我们确定模型中的关键参数，而流动建模则能帮助我们理解物质在环境中的传输过程。下面将详细介绍这两方面的内容。

参数估计：扩散系数的估计方法

我们考虑一个环境系统，其中某种（生物）化学物质的分布由两个过程控制。为了简化问题，我们研究一维情况，即有两个被屏障分隔的储层。屏障不允许流体流动，但化学物质可以通过扩散穿透。扩散的驱动力是两个储层中化学物质的浓度 $c$ 不同，此外，还有一个恒定的源或汇，化学物质以恒定速率 $Q$ 通过屏障。

该系统稳态的微分方程为：
$\frac{\partial}{\partial x}(D\frac{\partial c}{\partial x}) + Q = 0$

我们的目标是根据屏障内的测量值来估计扩散系数 $D$。最佳估计的条件是使以下函数 $e$ 最小化：
$e = \sum (c(x_{fit}) - c_{fit})^2$

通过考虑导数 $\frac{\partial e}{\partial D}$，并令其为零来求解最佳拟合的扩散系数：
$\frac{\partial e}{\partial D} = 2\sum (c(x_{fit}) - c_{fit})\frac{\partial c}{\partial D}(x_{fit}) = 0$

其中，$\frac{\partial c}{\partial D}$ 满足一个通过对上述稳态微分方程关于 $D$ 求导得到的微分方程：
$\frac{\partial}{\partial x}(D\f