98、微分约束下的规划与轨迹优化

微分约束下的规划与轨迹优化

1. 微分约束下的规划基础

当 $n$ 个独立的双重积分器被约束在一条直线上时，会得到类似的结果。存在 $n$ 个形如 (14.40) 的方程，其中 $|a_i|$ 最大的 $i \in {1, \ldots, n}$ 决定了加速度范围为 $\ddot{s} \in [-\frac{1}{a_i}, \frac{1}{a_i}]$。动作 $u’$ 定义为 $u’ = u_i$，而 $j \neq i$ 的 $u_j$ 可从其余 $n - 1$ 个方程中获得。

若 $\tau$ 是非线性的，那么方程 (14.39) 变为：
$\ddot{s} = \frac{u_i}{\frac{d\tau_i}{ds} - \frac{d^2\tau_i}{ds^2} \dot{s}^2}$ (14.43)
对于每个 $\frac{d\tau_i}{ds} \neq 0$ 的 $i$ 都适用。此时，集合 $U’(s, \dot{s})$ 会在 $S$ 上变化。随着速度 $\dot{s}$ 的增加，$U’(s, \dot{s})$ 非空的可能性会降低。也就是说，形如 (14.43) 的所有方程存在解的可能性变小。在物理系统中，这意味着要保持在路径上需要过度急转弯。在高速情况下，这可能需要超出 $[ -1, 1]^n$ 范围的加速度 $\ddot{q}$。

这些思想同样适用于更复杂的系统。例如，对于机器人手臂，假设系统由 (13.142) 描述，通过将 $q$、$\dot{q}$ 和 $\ddot{q}$ 用 $s$、$\dot{s}$ 和 $\ddot{s}$ 表示，可以推导出形如 (14.39) 的约束。直接代入 (13.142) 得到：