17、运动规划中的构型空间详解

运动规划中的构型空间详解

在运动规划领域，构型空间（C - space）是一个核心概念。它为解决复杂的机器人运动规划问题提供了强大的抽象工具，将机器人的各种变换转化为在流形上计算路径的一般问题。

1. 构型空间的定义

如果机器人具有 $n$ 个自由度，那么其变换集合通常是一个 $n$ 维的流形，这个流形就被称为机器人的构型空间，简称 C - 空间。在运动规划中，算法需要在 C - 空间中进行搜索，以找到机器人从初始状态到目标状态的路径。在后续的讨论中，我们先不考虑障碍物的影响，专注于构型空间的基本性质。

2. 二维刚体的构型空间：SE(2)

2.1 直观理解

对于二维平面 $R^2$ 中的刚体，其运动可以分解为平移和旋转。由于平移时 $x_t, y_t \in R$ 可以任意选择，这就构成了一个二维流形 $M_1 = R^2$。而旋转角度 $\theta \in [0, 2\pi)$，因为 $2\pi$ 和 $0$ 表示相同的旋转，所以二维旋转构成了一个流形 $M_2 = S^1$。那么，所有刚体运动对应的流形就是 $C = M_1 \times M_2 = R^2 \times S^1$，即 C - 空间是一个圆柱。

2.2 矩阵群的引入

为了更深入地理解，我们将变换集合看作一个群，同时也是一个拓扑空间。下面从矩阵集合中推导几个重要的群：
- 一般线性群 GL(n) ：所有非奇异的 $n \times n$ 实值矩阵构成一般线性群，记为 $GL(n)$，其运算为矩阵乘法。每个矩阵 $A \in GL(n)$ 都有逆矩阵 $A^{-1} \i