40、网络进化的自然模型：全有或全无与聚合方法

网络进化的自然模型：全有或全无与聚合方法

1. 引言

在网络进化研究中，有两种重要的模型：全有或全无模型和聚合模型。全有或全无模型基于个体间的顺序交互，最终达到极端状态；而聚合模型则允许所有个体在每个时间步同时交互，更符合许多实际进化过程。本文将详细介绍这两种模型，并分析它们的性质和应用。

2. 全有或全无与聚合模型定义

2.1 利伯曼、豪尔特和诺瓦克模型（全有或全无方法）

考虑一个具有 $n$ 个顶点的连通无向图 $G = (V, E)$。该随机过程可用一个马尔可夫链描述，状态空间 $S = 2^V$（即 $V$ 的所有子集的集合），转移概率矩阵 $P$ 定义如下：
对于任意两个状态 $S_1, S_2 \subseteq V$，
[
P_{S_1,S_2} =
\begin{cases}
\frac{1}{|S_1|r + n - |S_1|} \cdot \sum_{u \in N(v) \cap S_1} \frac{r}{\text{deg}(u)}, & \text{如果 } S_2 = S_1 \cup {v} \text{ 且 } v \notin S_1 \
\frac{1}{|S_1|r + n - |S_1|} \cdot \sum_{u \in N(v) \setminus S_2} \frac{1}{\text{deg}(u)}, & \text{如果 } S_1 = S_2 \cup {v} \text{ 且 } v \notin S_2 \
\frac{1}{|S_1|r + n - |S_1|} \left( \sum_{u \in S