39、不可分割物品存在下的最坏情况分配与网络进化模型研究

不可分割物品存在下的最坏情况分配与网络进化模型研究

不可分割物品的最坏情况分配

在不可分割物品的分配问题中，有一个重要的不等式((1 - s_i)V_{n - 1}(\frac{\alpha_i}{1 - s_i}) \geq V_n(\alpha_i))。这里的代理可以分为以下两类：
1. 代理类型一 ：对于(\alpha_i \in I(n, k))（(k \geq 1)）的代理(i)，在第((t - 1))轮结束时，若算法未选择任何玩家，那么代理(i)最想要的(t - 1)个物品价值不超过(V_n(\alpha_i))。根据引理2，可得(s_i \leq k\alpha_i)，代入并利用引理1，可知不等式成立。
2. 代理类型二 ：对于(\alpha_i \in NI(n, k))（(k \geq 1)）的代理(i)，由引理2有(s_i \leq k \cdot l(n, k))。要证明不等式，只需证明((1 - k \cdot l(n, k))V_{n - 1}(\frac{l(n, k)}{1 - k \cdot l(n, k)}) \geq V_n(\alpha_i))。因为(l(n, k) \in I(n, k))，结合引理1和事实4，该不等式成立。

当(\alpha_1 \geq V_n(\alpha_1))时，代理1只获得他最想要的一个物品。对于代理(i \in {2, …, n})，若(\alpha_i \in I(n, k) \cup NI(n, k))（(k \geq 1)），由于代理1只拿一个物品，所以(s_i \leq a_i)，即(s_i \leq k\alpha_i)。递归