25、在线随机匹配与无支付策略证明分配机制研究

在线随机匹配与无支付策略证明分配机制研究

1. 在线随机加权匹配问题

在受限图类中，我们可以解决在线随机（加权）匹配问题。首先，定义图 (G) 的子图复杂度 (k)：若图 (G) 中通过移除边能得到的连通子图最多有 (k) 个，则称图 (G) 具有子图复杂度 (k)。例如，长度为 (l) 的任何环或线的子图复杂度至多为 (l^2)，并且子图复杂度对于两个顶点不相交的图的并集是可加的，由此可知两个匹配的并集的子图复杂度至多为 (n^2)。

下面的定理可以通过动态规划来计算当恰好还剩 (t) 步时，任何连通子图 (C) 的期望匹配值 (E(C, t)) 得到：
- 定理 3 ：存在一种确定性算法，能最优地解决具有 (T) 轮的在线随机加权匹配问题。对于子图复杂度为 (k) 且有 (m) 条边的任何图，该算法总共需要 (O(kT m)) 时间。

有了这个算法后，我们可以尝试与最优的在线或离线算法竞争，具体做法是先通过丢弃边来简化匹配图，得到一个子图复杂度较低的图，然后运行最优在线算法。

对于无权情况，当频率相等且为两个匹配的并集时，最优决策变得简单许多，具体规则如下：
1. 如果当前展示出现在至少有一侧以广告结尾的路径上，则将该展示与离广告（路径更短）一侧的广告进行匹配。
2. 如果路径的两侧都以展示结尾，则将其与路径较长的一侧进行匹配。
3. 否则，在可能的情况下任意匹配展示。这种策略每个采样步骤仅需平均期望 (O(\log n)) 时间即可轻松实现。

2. 无支付和先验知识的策略证明分配问题

我们研究在没有支付的情况下将可分物品分配给代理的问