18、先验无关的多参数机制设计与搜索广告投标行为建模

先验无关的多参数机制设计与搜索广告投标行为建模

1. 先验无关的多参数机制设计基础

在机制设计领域，对于正则分布，迈尔森机制（Mye）是一种真实机制，它能逐点优化右侧期望内的数量。具体而言，给定一组投标 b 作为输入，迈尔森机制会选择可行子集 S，使得 $\sum_{i\in S} \varphi_{F_i}(b_i)$ 最大化，该机制能在真实机制中最大化预期利润。

在多物品多参数拍卖环境（UMMA）中，可将其转化为单参数环境。给定一个 UMMA 环境 $E = (N, M, S, F)$，其代表环境 $Rep(E)$ 是一个由元组 $(N’, S’, F)$ 表示的单参数环境，其中：
- $N’ = {ij : i \in N, j \in M}$；
- 每个集合 $S’ \in S’$ 是通过取一个集合 $S \in S$ 并将每对 $(i, j)$ 替换为代理 $ij$ 来构建的。每个单参数代理 $ij$ 是单位需求代理 $i$ 的代表。并且，代表环境中的最优收入为原环境的最优收入提供了上界。

此外，还引入了重复环境的概念。给定一个单参数环境 $E$，重复环境 $Dup(E)$ 是通过为 $E$ 中的每个代理 $i$ 添加一个新代理 $i’$ 得到的，满足：
- $i$ 和 $i’$ 的值从相同分布中抽取；
- $Dup(E)$ 中的可行集是通过取 $E$ 中的一个可行集并将一些代理替换为其重复代理来构建的。相关研究表明，在特定条件下，$Dup(E)$ 上的 VCG 机制的预期收入至少是 $E$ 上迈尔森机制预期收入的 1/2。

2. 单位供应的单位需求多物品拍卖

作为热身，考虑每种物品恰好