18、空中操作机械臂系统设计算法模型解析

空中操作机械臂系统设计算法模型解析

1. 空中操作机械臂系统设计基础

空中操作机械臂系统与地面系统中的机械臂设计有所不同。地面系统的机械臂设计和控制是基于稳定平台的假设，而将机械臂安装在无人机（UAV）上以与地面物体交互时，会使机械臂设计更具挑战性，因为需要考虑整个系统的推力问题。

当空中操作机械臂系统与地面物体交互时，整个系统的推力必须满足以下条件：
$T_{UAV} \geq M_{muavo}^q \cdot g$
其中，$T_{UAV}$ 是无人机的最大推力，$M_{muavo}^q$ 是带有地面物体的空中操作机械臂系统的质量，$g$ 是自由落体加速度。

多旋翼的推力计算公式为：
$T_{UAV} = n_p\rho C_T\vartheta^2 D^4$
其中，$n_p$ 是螺旋桨的数量，$\rho$ 是空气密度，$C_T$ 是推力系数，$\vartheta$ 是螺旋桨的角速度，$D$ 是螺旋桨的直径。由于推力有限，这限制了机械臂和交互物体的质量。

2. 机械臂配置选择步骤

选择适合空中操作机械臂系统的机械臂配置，需要遵循以下步骤：
1. 确定无人机的最大推力 ：根据无人机电机和螺旋桨的参数、电机数量、角速度和螺旋桨直径来计算。
2. 初步确定总质量 ：包括空中操作机械臂系统的总质量和地面物体的质量。
3. 分析质心稳定可能性 ：分析机械臂将其质心稳定在垂直轴上的能力。
4. 选择合适的机械臂 ：为空中操作机械臂系统选择合适的机械臂类型。

以下是选择可接受机械臂配置的详细要求和输入参数：
|步骤|要求|输入参数|
| ---- | ---- | ---- |
|1. 确定无人机最大推力|最大无人机推力|螺旋桨直径、电机转速、电机数量|
|2. 确定总质量|机械臂质量、地面物体质量|无人机质量、最大无人机推力、推力系数|
|3. 分析质心稳定|机械臂关节角度的一组参数|机械臂质心坐标、机械臂工作体空间|
|4. 选择合适机械臂|机械臂关节角度的一组参数|工作体轨迹和机械臂关节角度的一组参数|

3. 机械臂设计的后续任务

选择机械臂配置后，在设计空中操作机械臂系统时还需要执行一系列后续任务，如：
- 计算机械臂的运动学和动力学参数。
- 推导机械臂连杆的运动方程。
- 设计控制器。

在控制机械臂的过程中，需要考虑可能导致机械臂不稳定的干扰因素。如果机械臂在允许的干扰范围内稳定运行，则测试完成，所选配置可用于实际应用中的空中操作机械臂系统。

下面是机械臂设计的算法模型流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A([开始]):::startend --> B(分析机械臂运动时保持质心在垂直轴上的能力):::process
    B --> C(确定允许在空中操作机械臂系统中使用的机械臂类型):::process
    C --> D(计算机械臂运动学和动力学模型的参数):::process
    D --> E(规划所有机械臂连杆的轨迹方程):::process
    E --> F(设计机械臂的控制器):::process
    F --> G(考虑干扰因素测试机械臂控制系统):::process
    G --> H([结束]):::startend

4. 运动学和动力学建模

运动学和动力学建模对于机器人机械臂的设计、仿真和控制非常重要。
- 运动学建模 ：描述机器人机械臂的运动，而不考虑引起这种运动的力和扭矩。它在机器人仿真、机构建模、执行器和传感器建模以及在线和离线机器人控制应用等多个领域都有应用。
- 动力学建模 ：提供作用在机器人机械臂上的力与机器人机械臂所获得的加速度之间的关系。动力学方程对于机器人运动的仿真和控制算法的设计非常重要。

在动力学分析中，常用的方法有拉格朗日 - 欧拉（Lagrange - Euler）和牛顿 - 欧拉（Newton - Euler）公式。在本研究中，选择拉格朗日 - 欧拉公式来对串联机器人机械臂进行动力学建模，因为它可以得到简单且结构良好的动力学方程。

5. 控制器设计

在工业中，PID 控制是最常用的控制算法，因其结构和设计简单。然而，对于具有时变参数的复杂非线性系统，如机械臂机器人，传统的 PID 控制器可能无法产生令人满意的结果。因此，一种混合模糊 PID 控制器是机器人控制的不错选择。

模糊 PID 控制器结合了传统 PID 控制器和模糊控制器的优点，适合精确的定位和提高跟踪精度。模糊控制器不需要精确的数学模型，而是利用关于受控过程的经验和知识来构建模糊规则库。

模糊逻辑控制器（FLC）主要由四个组件组成：模糊化器、知识库、推理机制和去模糊化器。其设计过程如下：
1. 定义输入和输出变量 ：确定 FLC 的输入和输出变量。
2. 模糊化变量 ：通过定义模糊集和隶属函数对输入和输出变量进行模糊化。
3. 设计推理机制规则 ：找到输入 - 输出关系。
4. 去模糊化输出变量 ：将模糊输出转换为清晰的控制信号。

6. 轨迹类型和运动规划

在控制机器人机械臂时，有两种主要的轨迹类型：关节空间轨迹和任务空间轨迹。
- 关节空间轨迹 ：轨迹点和插值直接基于关节位置（角度或位移）。
- 任务空间轨迹 ：轨迹点和插值基于特定位置（通常是末端执行器）的笛卡尔姿态（位置和方向）。

本研究选择关节空间轨迹，因为重点是控制机械臂将其质心保持在垂直轴上。

运动规划通常有四个典型层次：
1. 任务规划 ：设计一组高级目标，如“去捡起你面前的物体”。
2. 路径规划 ：从起点到目标点生成可行路径，路径通常由一组连接的轨迹点组成。
3. 轨迹规划 ：根据位置、速度和加速度等约束条件，为路径生成时间调度。
4. 轨迹跟踪 ：控制系统以足够的精度执行轨迹运动。

为确保机械臂的质心始终保持在垂直轴上，每个机械臂连杆必须沿着特定轨迹移动。因此，本研究选择路径规划和轨迹规划进行测试。

7. 计算机械臂关节角度的算法

为了分析机械臂在运行过程中始终将其质心保持在垂直轴上的能力，考虑一个由 $n$ 个连杆组成的机械臂。对于两个连续连杆的旋转运动，它们之间安装了一个铰链接头。

旋转矩阵为：
$^{i - 1}R_i =
\begin{bmatrix}
c_i & -s_i & 0 \
s_i & c_i & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
其中，$c_i = \cos \theta_i$，$s_i = \sin \theta_i$。

使用 Denavit - Hartenberg 算法分配坐标系，得到串联链机械臂的几何参数如下表所示：
|$i$|$\alpha_i$|$a_i$|$d_i$|$\theta_i$|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|1|0|$l_1$|0|$\theta_1$|
|2|0|$l_2$|0|$\theta_2$|
|…|…|…|…|…|
|$n$|0|$l_n$|0|$\theta_n$|

通过正向运动学可以确定连杆 $i$ 相对于原始坐标的坐标：
$^0T_i = \prod_{i = 1}^i {^{i - 1}T_i} =
\begin{bmatrix}
c_{1…i} & -s_{1…i} & 0 & \sum_{k = 1}^i l_k c_{1…k} \
s_{1…i} & c_{1…i} & 0 & \sum_{k = 1}^i l_k s_{1…k} \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
其中，$c_{1…i} = \cos(\theta_1 + \cdots + \theta_i)$，$s_{1…i} = \sin(\theta_1 + \cdots + \theta_i)$。

两个连续连杆质心之间的关系为：
$^{i - 1}T_{COM}^i =
\begin{bmatrix}
c_i & -s_i & 0 & (l_i c_i)/2 \
s_i & c_i & 0 & (l_i s_i)/2 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$

连杆 $i$ 的质心坐标矩阵为：
$^0T_{COM}^i = \prod_{i = 1}^i {^{i - 1}T_{COM}^i} =
\begin{bmatrix}
c_{1…i} & -s_{1…i} & 0 & \sum_{k = 1}^{i - 1} l_k c_{1…k} + (l_i c_{1…i})/2 \
s_{1…i} & c_{1…i} & 0 & \sum_{k = 1}^{i - 1} l_k s_{1…k} + (l_i s_{1…i})/2 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$

根据机械臂工作端机构的位置（公式 10.3）和质心的位置（公式 10.4），可以分析机械臂将其质心保持在垂直轴上的能力。为了将机械臂的质心保持在垂直轴上并将其水平位移减小到小于 0.001 m，设定了以下条件：
$|x_{COM}| \leq 0.001 \text{ (m)}$

分析机械臂将其质心保持在垂直轴上的能力的方法如下：
1. 确定工作机构坐标范围 ：确定机械臂工作机构 $(x_n; y_n)$ 在空间中的坐标范围：
$\begin{cases}
x_n \in [x_{min}^n; x_{max}^n] \
y_n \in [y_{min}^n; y_{max}^n]
\end{cases}$
2. 考虑关节角度值 ：对于机械臂的每个连杆 $i$，考虑关节角度 $\theta_{hi}$（$h_i = 1, \cdots, H_i$）的一个值。角度 $\theta_{hi}$ 从 $\theta_{min}^i$ 到 $\theta_{max}^i$ 以 $\Delta\theta_k$（$k = 1, \cdots, K$）的公差按等差数列增加。
$H_i = \left\lfloor\frac{\theta_{max}^i - \theta_{min}^i}{\Delta\theta_k}\right\rfloor$
3. 考虑垂直轴上的点 ：对于每个 $\theta_{hi}$ 和 $\Delta\theta_k$，考虑垂直轴上的点 $C(0; y_m)$（$m = 1, \cdots, M$），其中 $y_m$ 从 $y_{min}$ 到 $y_{max}$ 以 $\Delta y_j$（$j = 1, \cdots, J$）的公差按等差数列增加。
$M = \left\lfloor\frac{y_{max} - y_{min}}{\Delta y_j}\right\rfloor$
4. 寻找满足条件的角度集 ：对于机械臂质心的每个坐标 $(x_{COM}; y_{COM})$，考虑一组角度 $(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_n)$。如果存在满足质心在垂直轴上条件的 $\theta$ 角度集，则这些就是我们需要找到的角度集。

从条件 (10.3) - (10.6) 开发了一种算法，用于寻找满足机械臂质心在垂直轴上条件的 $\theta$ 角度集 $q_ths$。该算法是设计用于安装在无人机上的机械臂的基础。

8. 确定机械臂能否沿指定轨迹移动

为了确定机械臂的工作端机构能否沿指定轨迹移动，考虑一组 $W$ 种机械臂配置 $TC_w$（$w = 1, \cdots, W$），对于每种配置，考虑一组 $R$ 种工作端机构轨迹 $Tr$（$r = 1, \cdots, R$）。

确定工作端机构能否沿指定轨迹移动的方法如下：对于每种机械臂配置 $TC_w$，考虑一组关节角度 $q_thsa$（$a = 1, \cdots, A$）。如果机械臂工作端机构的坐标均匀分布在指定轨迹周围，则选择该机械臂进行下一阶段的测试。

以下是确定可接受机械臂配置的算法流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A([开始]):::startend --> B(考虑机械臂配置 TCw):::process
    B --> C(考虑轨迹类型 Tr):::process
    C --> D(考虑关节角度 q_thsa):::process
    D --> E{坐标是否均匀分布在轨迹周围?}:::process
    E -- 是 --> F(选择机械臂进行下一阶段测试):::process
    E -- 否 --> B
    F --> G([结束]):::startend

在这个流程图中，输出参数 $S$ 是允许安装在无人机上的机械臂数量。这是设计空中操作机械臂系统的重要一步。一旦确定了可接受的机械臂类型，就可以进一步优化和完善机械臂的设计，以满足实际应用的需求。

综上所述，设计空中操作机械臂系统需要综合考虑多个因素，包括推力限制、质心稳定、运动学和动力学建模、控制器设计以及轨迹规划等。通过合理的算法和模型，可以选择合适的机械臂配置，并确保机械臂在与地面物体交互时能够稳定运行。

空中操作机械臂系统设计算法模型解析（续）

9. 空中操作机械臂系统的稳定性分析

空中操作机械臂系统的稳定性至关重要，尤其是在与地面物体交互时。系统的稳定性主要取决于机械臂质心是否能保持在垂直轴上。当机械臂质心偏离垂直轴时，会导致无人机的姿态发生变化，影响系统的整体稳定性。

为了保证系统的稳定性，在设计机械臂时需要进行多方面的考虑：
- 质量分布优化 ：合理设计机械臂的结构和质量分布，使质心尽可能靠近垂直轴。例如，采用轻质材料制作机械臂的非关键部件，以减轻整体质量，同时优化关键部件的布局，确保质心稳定。
- 运动规划与控制 ：精确的运动规划和控制可以减少质心的偏移。在机械臂运动过程中，实时监测质心位置，并根据监测结果调整机械臂的运动轨迹和姿态，使质心始终保持在允许的范围内。

10. 不同类型轨迹对系统的影响

在控制机械臂时，不同类型的轨迹会对系统产生不同的影响。
- 关节空间轨迹 ：关节空间轨迹直接基于关节位置进行规划，计算相对简单。但由于各关节的运动相互独立，可能会导致末端执行器的运动不够平滑，在某些情况下可能会出现较大的抖动。
- 任务空间轨迹 ：任务空间轨迹基于末端执行器的笛卡尔姿态进行规划，能够使末端执行器在空间中平滑移动。然而，这种轨迹规划需要频繁求解逆运动学问题，计算量较大，对控制系统的实时性要求较高。

在实际应用中，需要根据具体的任务需求和系统性能选择合适的轨迹类型。例如，对于对运动平滑性要求较高的任务，如抓取易碎物品，可选择任务空间轨迹；而对于对计算资源有限的系统，关节空间轨迹可能是更合适的选择。

11. 模糊 PID 控制器的优势与应用

在机械臂控制中，模糊 PID 控制器具有明显的优势。传统的 PID 控制器适用于线性系统，但对于具有非线性和时变特性的机械臂系统，其控制效果往往不理想。而模糊 PID 控制器结合了模糊控制和 PID 控制的优点，能够更好地适应机械臂系统的复杂特性。

模糊 PID 控制器的应用步骤如下：
1. 初始化 ：确定 PID 控制器的初始参数，如比例系数 $K_p$、积分系数 $K_i$ 和微分系数 $K_d$。
2. 模糊化 ：将机械臂的误差和误差变化率作为输入，通过模糊化器将其转换为模糊变量。
3. 规则推理 ：根据模糊规则库，对模糊变量进行推理，得到模糊输出。
4. 去模糊化 ：将模糊输出转换为精确的控制量，用于调整 PID 控制器的参数。
5. 控制输出 ：根据调整后的 PID 参数，计算控制信号并输出到机械臂执行机构。

通过不断地调整 PID 参数，模糊 PID 控制器能够使机械臂在不同的工作条件下都能保持良好的控制性能。

12. 机械臂设计的实际应用案例

为了更好地理解上述理论和方法在实际中的应用，下面介绍一个具体的案例。

假设要设计一个用于农业领域的空中操作机械臂系统，用于采摘水果。该系统的设计过程如下：
1. 确定系统需求 ：明确机械臂需要采摘的水果种类、生长环境和采摘要求，如采摘力、采摘精度等。
2. 选择无人机和机械臂 ：根据系统的负载要求和飞行性能，选择合适的无人机。同时，根据水果的位置和形状，选择合适的机械臂类型和尺寸。
3. 进行运动学和动力学建模 ：使用拉格朗日 - 欧拉公式对机械臂进行动力学建模，计算机械臂的运动学和动力学参数，为后续的控制设计提供基础。
4. 设计控制器 ：采用模糊 PID 控制器对机械臂进行控制，以提高系统的稳定性和控制精度。
5. 规划轨迹 ：根据水果的位置和机械臂的工作空间，规划合适的轨迹，确保机械臂能够准确地到达采摘位置。
6. 测试和优化 ：在实际环境中对系统进行测试，根据测试结果对系统进行优化，如调整控制器参数、优化轨迹规划等。

通过以上步骤，设计出的空中操作机械臂系统能够在农业领域实现高效、准确的水果采摘任务。

13. 未来发展趋势

随着科技的不断发展，空中操作机械臂系统也将迎来新的发展机遇和挑战。未来的发展趋势主要包括以下几个方面：
- 智能化 ：引入人工智能技术，如机器学习、深度学习等，使机械臂能够自主学习和适应不同的工作环境和任务需求。例如，通过深度学习算法，机械臂可以自动识别不同类型的物体，并根据物体的特征选择合适的抓取方式。
- 轻量化和小型化 ：采用新型材料和先进的制造工艺，减轻机械臂的重量和体积，提高系统的便携性和灵活性。例如，使用碳纤维等轻质材料制作机械臂的结构部件，同时优化机械臂的设计，减少不必要的部件。
- 多机器人协作 ：多个空中操作机械臂系统可以协同工作，完成更复杂的任务。例如，在大型仓库中，多个机械臂可以同时进行货物的搬运和分拣，提高工作效率。
- 与其他技术融合 ：与传感器技术、通信技术等相结合，实现机械臂的实时监测和远程控制。例如，通过安装高精度的传感器，机械臂可以实时感知周围环境的变化，并将数据传输到远程控制中心，实现远程操作和监控。

14. 总结与建议

设计空中操作机械臂系统是一个复杂的过程，需要综合考虑多个因素。在设计过程中，应遵循以下建议：
- 全面规划 ：在设计初期，对系统的需求、性能和应用场景进行全面的规划，明确设计目标和要求。
- 合理选择算法和模型 ：根据系统的特点和需求，选择合适的算法和模型，如运动学和动力学建模方法、控制器类型等。
- 注重实验和测试 ：在设计过程中，进行充分的实验和测试，及时发现问题并进行优化。通过实际测试，验证系统的性能和稳定性，确保系统能够满足实际应用的需求。
- 关注技术发展趋势 ：密切关注相关技术的发展趋势，及时引入新的技术和方法，提升系统的性能和竞争力。

总之，通过合理的设计和优化，空中操作机械臂系统可以在多个领域发挥重要作用，为人们的生产和生活带来便利。

以下是一个总结性的表格，对比了关节空间轨迹和任务空间轨迹的特点：
|轨迹类型|优点|缺点|适用场景|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|关节空间轨迹|计算简单|末端执行器运动不够平滑|计算资源有限的系统|
|任务空间轨迹|末端执行器运动平滑|计算量大，对实时性要求高|对运动平滑性要求较高的任务|

同时，为了更清晰地展示空中操作机械臂系统设计的整体流程，下面给出一个 mermaid 格式的流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A([开始]):::startend --> B(确定系统需求):::process
    B --> C(选择无人机和机械臂):::process
    C --> D(进行运动学和动力学建模):::process
    D --> E(设计控制器):::process
    E --> F(规划轨迹):::process
    F --> G(测试和优化):::process
    G --> H{是否满足要求?}:::process
    H -- 是 --> I([结束]):::startend
    H -- 否 --> D

这个流程图展示了从系统需求确定到最终设计完成的整个过程，强调了测试和优化的重要性，以及在不满足要求时需要进行迭代设计。通过这样的流程，可以确保设计出的空中操作机械臂系统具有良好的性能和稳定性。