7、形式量化与Berezin成果的深入探讨

形式量化与Berezin成果的深入探讨

1. 形式量化基础与稳定形式拟同构

在形式量化领域，M. Kontsevich在其开创性论文中构建了从仿射空间 $\mathbb{R}^d$ 上的多向量场的分次李代数到多项式代数 $A = \mathbb{R}[x_1, x_2, \ldots, x_d]$ 的Hochschild上链复形 $C^{\bullet}(A)$ 的 $L_{\infty}$ 拟同构。这一成果意义重大，它表明 $\mathbb{R}^d$ 上星积的等价类与形式泊松结构的等价类之间存在一一对应关系，同时也意味着变形量化代数的Hochschild上同调与相应形式泊松结构的泊松上同调是同构的。基于这些重要结论，我们将从仿射空间 $\mathbb{R}^d$ 上多向量场的分次李代数到Hochschild上链复形 $C^{\bullet}(A)$ 的 $L_{\infty}$ 拟同构视为形式量化程序。

在实际应用中，我们更关注形式拟同构的同伦类。因为根据相关引理，同伦等价的 $L_{\infty}$ 拟态射对于 $C^{\bullet}(A)$ 会给出星积等价类集合与形式泊松结构等价类集合之间相同的一一对应关系。

V. A. Dolgushev提出了稳定形式拟同构（SFQ）的概念。SFQ能同时为所有维度 $d$ 的 $A = \mathbb{R}[x_1, x_2, \ldots, x_d]$ 的Hochschild上链给出 $L_{\infty}$ 拟同构，并且同伦等价的SFQ会给出同伦等价的 $L_{\infty}$ 拟同构。Dolgushev证明了SFQ的同伦类构成一个挠子，该挠子对应于通过对李代数 $H^0(GC)$ 取指数得到的群，其中 $GC$ 是M. Kont