5、超矩阵、贝雷辛行列式与相干态量化的研究进展

超矩阵、贝雷辛行列式与相干态量化的研究进展

1. 超矩阵相关理论

在超流形的de Rham理论中，矩形超矩阵函数 ∥𝑤𝑖 𝑎∥ 有着特殊的条件。它替代了斜对称性和多重线性，同时也是Gelfand意义下“超几何方程”的推广，其中 (15) 的奇 - 奇部分就是与Radon变换相关的F. John方程。

贝雷辛行列式（Berezinian）也有美妙的发展。Th. Schmitt发现贝雷辛行列式的展开会引出外幂：
Ber(1 + 𝑧𝐴) = 1 + 𝑧str 𝐴 + 𝑧² str Λ²𝐴 + ⋅⋅⋅
这里，𝐴 是一个偶超矩阵，形式为：
[
𝐴 =
\begin{pmatrix}
𝐴_{00} & 𝐴_{01} \
𝐴_{10} & 𝐴_{11}
\end{pmatrix}
]
Λᵏ𝐴 表示其在第 𝑘 个外幂上的作用，str 表示超迹，即 str 𝐴 = tr 𝐴₀₀ - tr 𝐴₁₁。通过比较 Ber(1 + 𝑧𝐴) 在零和无穷处的展开式，能得到特定的通用递推关系。对于 𝑝∣𝑞 × 𝑝∣𝑞 矩阵，当 𝑘 > 𝑝 - 𝑞 时，有如下关系：
[
\begin{vmatrix}
𝑐ₖ(𝐴) & \cdots & 𝑐ₖ₊ₑ(𝐴) \
\vdots & \ddots & \vdots \
𝑐ₖ₊ₑ(𝐴) & \cdots & 𝑐ₖ₊₂ₑ(𝐴)
\end{vmatrix} = 0
]
其中 𝑐ₖ(