36、Lax方程、热核渐近性与相关数学结构研究

Lax方程、热核渐近性与相关数学结构研究

1. Lax算子与Lax方程

1.1 Lax算子定义

Lax算子 (L(z)) 在 (P_i) 处有特定形式，在其他地方是全纯的，在每个 (\gamma) 处具有如下形式：
[
L(z) = \frac{L_{-2}}{(z - z_{\gamma})^2} + \frac{L_{-1}}{(z - z_{\gamma})} + L_0 + L_1(z - z_{\gamma}) + O((z - z_{\gamma})^2)
]
其中 (z) 是 (\gamma) 处的局部坐标，(z_{\gamma} = z(\gamma))，并且满足以下关系：
[
\begin{cases}
L_{-2} = \nu\alpha\alpha^t\sigma \
L_{-1} = (\alpha\beta^t + \varepsilon\beta\alpha^t)\sigma \
\beta^t\sigma\alpha = 0 \
L_0\alpha = \kappa\alpha
\end{cases}
]
这里 (\alpha) 与 (\gamma) 相关，(\beta) 是任意的，(\nu \in \mathbb{C})，(\sigma) 是一个 (n \times n) 矩阵。不同的李代数 (\mathfrak{g}) 对应不同的 (\nu)、(\varepsilon) 和 (\sigma) 值，具体如下表所示：
| 李代数 (\mathfrak{g}) | (\nu) | (\varepsilon) | (\sigma)