6、相干态与量子化：从模块值到西格尔 - 雅可比流形

相干态与量子化：从模块值到西格尔 - 雅可比流形

模块值相干态（MVCS）的基础构建

MVCS 的定义与性质

对于每个 (x\in X) 和余等距 (a\in\mathcal{A})（即 (aa^* = \text{id} {\mathcal{A}})），我们定义向量：
(\vert x, a\rangle = \sum {k} aF_k(x) \otimes \phi_k\in H)
这里假设该求和在 (H) 的范数下收敛，这些向量被称为（未归一化的）模块值相干态（MVCS）。MVCS 满足单位分解：
(\int_{X} \vert x, a\rangle\langle x, a\vert d\mu(x) = I_H)
具体来说，对于任意两个 (h_1, h_2 \in H)，有：
(\int_{X} \langle h_1 \vert x, a\rangle_H\langle x, a\vert h_2\rangle_H d\mu(x) = \langle h_1 \vert h_2\rangle_H)

归一化 MVCS 的构建

在特定条件下，MVCS 可以被归一化。设：
(\mathcal{N}(x, a) := \langle x, a\vert x, a\rangle_H = \sum_{k} \langle F_k(x) \vert a^*aF_k(x)\rangle_E)
如果 (\phi_1, \phi_2, \cdots) 是 (G) 的一组正交基，(a) 是 (\mathcal{A}) 的酉元，且 (\mathcal{N}(x, \text{