11、量子化中的Berezin - Toeplitz相关理论及应用

量子化中的Berezin - Toeplitz相关理论及应用

1. 引言

在量子化的数学领域中，一个重要的方面是将经典可观测量（数学上表现为相空间上的函数）替换为作用在特定希尔伯特空间上的算子。本文将详细介绍Berezin - Toeplitz（BT）算子量化、变形量化、圆盘束、相干向量与态、协变和逆变符号以及Berezin变换等相关内容。

2. Berezin - Toeplitz算子

2.1 Toeplitz算子的定义

对于函数 (f \in C^{\infty}(M))，与之关联的Toeplitz算子 (T_f^{(m)})（级别为 (m)）定义为：
[T_f^{(m)} := \Pi^{(m)} (f \cdot) : \Gamma_{hol}(M, L^m) \to \Gamma_{hol}(M, L^m)]
具体操作是，取一个全纯截面 (s) 与可微函数 (f) 相乘，得到的截面 (f \cdot s) 通常只是可微的，为了得到全纯截面，需要将其投影回全纯截面的子空间。

2.2 Toeplitz量化映射

线性映射 (T^{(m)} : C^{\infty}(M) \to End(\Gamma_{hol}(M, L^m)))，(f \to T_f^{(m)} = \Pi^{(m)}(f \cdot))，(m \in \mathbb{N} 0) 是Toeplitz或Berezin - Toeplitz量化映射（级别为 (m)）。但它既不是李代数同态也不是结合代数同态，因为一般有 (T_f^{(m)} T_g^{(m)} \neq T {fg}^{(m)})。