4、从格拉斯曼代数到超流形：费利克斯·亚历山德罗维奇·别列津的数学贡献之旅

从格拉斯曼代数到超流形：费利克斯·亚历山德罗维奇·别列津的数学贡献之旅

1. 超数学的起源与早期发展

早期，别列津在格拉斯曼代数上的微积分并非严格意义上的超数学。当时，普通变量和格拉斯曼代数生成元是并行但分开考虑的，没有它们的混合，且格拉斯曼变量的变换仅限于线性变换。然而，费米和玻色二次量子化方法中算子微积分主要公式的惊人巧合，让别列津萌生了将分析的主要概念进行推广的想法，使格拉斯曼代数生成元与实变量或复变量处于平等地位，这便是超数学的开端。

超数学计划的实施主要有以下几个关键步骤：
- 非线性变换的突破 ：在相关研究中，别列津考虑了反对易变量的非线性变换，这与将外代数视为与线性空间相关的ℤ - 分次对象的标准观点不同。此时重点转移到代数本身，变换只需保持ℤ₂ - 分次，而非一定是ℤ - 分次。他研究了这种变换对反对易变量积分的影响，证明出现了雅可比矩阵行列式的逆，这是对之前公式的推广，也是迈向发现别列津行列式的一步。
- 偶奇变量生成代数的引入 ：别列津和G.I. 卡茨的合作论文中，引入了由偶变量和奇变量生成的代数。他们用现代语言引入了形式李超群和李超代数，并建立了它们之间的一一对应关系。尽管之前拓扑学家和微分几何学家对一种ℤ₂ - 分次源于ℤ - 分次模2约化的李超代数有所了解，但这里所考虑的代数是作为函数代数，自然的分次是ℤ₂。该论文还给出了非形式李群的类似物的例子，如一般线性超群GL(𝑛∣𝑚)和微分同胚超群Diff(ℝ₀∣𝑚)。

在引入“空间”（其中ℤ₂ - 分次代数的元素为“函数”）之前，还需要一些额外的步骤。G.I. 卡茨和A.I. 科罗涅维奇的论文隐含了这样的“空间”