3、费利克斯·亚历山德罗维奇·别列津的数学贡献

费利克斯·亚历山德罗维奇·别列津的数学贡献

1. 早期研究背景与别列津著作的影响力

弗里德里希斯的问题吸引了欧文·西格尔，他自20世纪50年代初就开始从事数学场论研究。西格尔在1956年引入了福克空间作为高斯测度上的 $L^2$ 模型，1959年J. 费尔德曼构造了无限维 $GL$ 在该空间上的作用。1959年，西格尔得到了有限 $n$ 时 $L^2$ 空间中“韦伊表示”的显式公式，1961年提出了玻色福克空间的全纯模型。1962年，D. 沙利解决了CCR的弗里德里希斯问题，1965年，D. 沙利和W. F. 斯廷斯普林解决了CAR问题。然而，这些论文并未涵盖别列津的成果，他的著作和他本人很快声名远扬。

物理学家对别列津著作感兴趣，除了关于CCR和CAR的形式结果外，还有两个额外原因：
- 新的算子形式（包括玻色子和费米子）非常方便，使公式书写和计算变得容易。
- 书中强调了玻色子和费米子空间之间的神秘平行性，这是别列津开展工作并最终创立超数学的起点。

2. 别列津的量子化一般概念

别列津研究的一个主要方向是将量子化概念作为经典力学系统的一种变形进行数学表述。

2.1 李代数对偶上的泊松括号与量子化

在论文中，别列津构造了一个从李群 $G$ 单位元邻域上的广义函数到其李代数 $\mathfrak{G}$ 对偶 $\tilde{\mathfrak{G}}$ 上函数的积分变换 $\delta$，并通过 $\delta$ 表示了从 $\mathfrak{G}$ 的对称代数 $S$ 到其泛包络代数 $\hat{S}$ 的对称化映射 $\Lambda$。
设 ${\hat{x} p}