9、矩阵与行列式：理论、方法与应用

矩阵与行列式：理论、方法与应用

1. 引言

在数学和工程领域，矩阵和行列式是非常重要的工具。它们在解决线性方程组、优化问题、数据分析等方面都有广泛的应用。本文将深入探讨矩阵和行列式的相关概念，包括子式、余子式、克莱姆法则、高斯消元法、伴随矩阵、奇异矩阵和非奇异矩阵等，并通过具体的例子和代码来展示它们的应用。

2. 子式和余子式

2.1 定义

设 (A) 是一个 (n) 阶方阵，若去掉 (A) 的第 (i) 行和第 (j) 列的元素，剩下的 (n - 1) 阶方阵的行列式称为行列式 (A) 的子式，记为 (M_{ij})。而带符号的子式 ((-1)^{i + j}M_{ij}) 称为 (a_{ij}) 的余子式，记为 (\alpha_{ij})。

2.2 示例

给定矩阵 (A=\begin{bmatrix}1&2&3\2& - 4&2\ - 1&2& - 6\end{bmatrix})，计算 (M_{11})，(M_{12})，(M_{13}) 和 (\alpha_{11})，(\alpha_{12})，(\alpha_{13})。
- (M_{11}=\begin{vmatrix}-4&2\2& - 6\end{vmatrix}=(-4)\times(-6)-2\times2 = 24 - 4 = 20)
- (M_{12}=\begin{vmatrix}2&2\ - 1& - 6\end{vmatrix}=2\times(-6)-2\times(-1)= - 12 + 2 = - 10)
- (M_