30、自证明公理系统的认识论意义探讨

自证明公理系统的认识论意义探讨

1. 核心定理与公理系统

存在这样的逻辑表达式：

∀t ∀q ∀x { [ HilbPrfA (t, q)
∧
Check(t) ]
=⇒
Testi(t, x)
} (10)

任何版本的公理系统 IS#D(β) 若满足一定条件，就能满足定理 3 的要求。这里 Group - 2 模式 β 是一个有限大小的、一致的 Π∗1 句子集合，且以 (10) 作为公理（甚至最小规模的系统可以仅以 (10) 为公理）。原因在于，如果 Ψ 是 A 的任意 Π∗1 定理，其证明记为 ¯p，那么 HilbPrfA (⌜Ψ⌝, ¯p) 和 Check(⌜Ψ⌝) 这两个 Δ∗0 谓词都为真。并且，IS#D(β) 的 Group - 1 公理子组能自动证明所有为真的 Δ∗0 句子。所以，IS#D(β) 会证明这两个陈述，并通过公理 (10) 进一步证实：

∀x Test i ( ⌜Ψ⌝, x ) (11)

这意味着对于 A 所证明的无限多个 Π∗1 定理，上述定义的形式体系会证明与之匹配的陈述，对应每个被证明定理的第 i 个内核化图像。

2. 定理 3 的 L 重推广

定理 3 很重要，因为每个公理系统 A 的形式体系 IS#D(βA,i) 都能证明 A 所证明的每个 Π∗1 定理的第 i 个内核化图像。这一事实很有帮助，因为 (6) 的不变性适用于所有 Π∗1 句子。而且，“U - Grounded” 的 Π∗1 句子